Tor函子

设 ${\displaystyle R}$ 为环。令 ${\displaystyle R-\mathbf {Mod} }$ 为左 ${\displaystyle R}$-模范畴、 ${\displaystyle \mathbf {Mod} -R}$ 为右 ${\displaystyle R}$-模范畴（若 ${\displaystyle R}$ 为交换环，则两者等价）。固定一对象 ${\displaystyle B\in R-\mathbf {Mod} }$，考虑函子

${\displaystyle T_{B}(-):=-\otimes _{R}B}$

这是从 ${\displaystyle \mathbf {Mod} -R}$ 至阿贝尔群范畴 ${\displaystyle \mathbf {Ab} }$ 的右正合函子（若 ${\displaystyle R}$ 为交换环，则它是映至 ${\displaystyle R-\mathbf {Mod} }$ 的右正合函子），因此能考虑其左导函子 ${\displaystyle L_{\bullet }T_{B}}$，记为 ${\displaystyle \mathrm {Tor} _{\bullet }^{R}(-,B)}$。

换言之，对任一左 ${\displaystyle R}$-模 ${\displaystyle A}$ 取射影分解

${\displaystyle \cdots \rightarrow P_{3}\rightarrow P_{2}\rightarrow P_{1}\rightarrow A\rightarrow 0}$

去掉尾项 ${\displaystyle A}$，并对 ${\displaystyle B}$ 取张量积，得到链复形

${\displaystyle \cdots \rightarrow P_{3}\otimes B\rightarrow P_{2}\otimes B\rightarrow P_{1}\otimes B\rightarrow 0}$

并取其同调群，则得到 ${\displaystyle \mathrm {Tor} _{\bullet }^{R}(-,B)}$

此外，Tor 函子也能以 ${\displaystyle A\otimes _{R}-}$ 的左导函子定义，两种定义给出自然同构的函子。

• Tor 函子与直和交换：

${\displaystyle \mathrm {Tor} _{n}^{R}(\bigoplus _{i}A_{i},\bigoplus _{j}B_{j})\simeq \bigoplus _{i}\bigoplus _{j}\mathrm {Tor} _{n}^{R}(A_{i},B_{j})}$

• 对任何 ${\displaystyle n\geq 1}$，${\displaystyle \mathrm {Tor} _{n}^{R}}$ 是从 ${\displaystyle (\mathbf {Mod} -R)\times (R-\mathbf {Mod} )}$ 到 ${\displaystyle \mathbf {Ab} }$ 的加法函子。若 ${\displaystyle R}$ 是交换环，则它是从 ${\displaystyle (R-\mathbf {Mod} )\times (R-\mathbf {Mod} )}$ 到 ${\displaystyle R-\mathbf {Mod} }$ 的加法函子。
• 依据导函子性质，每个短正合串行 ${\displaystyle 0\rightarrow K\rightarrow L\rightarrow M\rightarrow 0}$ 导出长正合串行：

${\displaystyle \cdots \rightarrow \mathrm {Tor} _{n+1}^{R}(M,B)\rightarrow \mathrm {Tor} _{n}^{R}(K,B)\rightarrow \mathrm {Tor} _{n}^{R}(L,B)\rightarrow \mathrm {Tor} _{n}^{R}(M,B)\rightarrow \mathrm {Tor} _{n-1}^{R}(K,B)\rightarrow \cdots }$

对第二个变量亦同。

• 若 ${\displaystyle R}$ 为交换环，${\displaystyle r\in R}$ 非零因子，则

${\displaystyle \mathrm {Tor} _{1}^{R}(R/(r),B)=\{b\in B:rb=0\}}$

这是 Tor 函子的词源。

• 由于阿贝尔群皆有长度不超过二的自由分解（因为自由阿贝尔群的子群皆为自由的），此时对所有 ${\displaystyle n\geq 2}$，有 ${\displaystyle \mathrm {Tor} _{n}^{\mathbb {Z} }(-,-)=0}$。

设 ${\displaystyle A,B}$ 为交换环，${\displaystyle M}$ 为 ${\displaystyle B}$-模，并固定一个环同态 ${\displaystyle A\to B}$。我们有双函子的自然同构：

${\displaystyle (-\otimes _{A}B)\otimes _{B}M=-\otimes _{A}M}$

由此导出格罗滕迪克谱串行：对任何 ${\displaystyle A}$-模 ${\displaystyle N}$，有谱串行

${\displaystyle E_{pq}^{2}=\mathrm {Tor} _{p}^{B}(\mathrm {Tor} _{q}^{A}(N,B),M)\Rightarrow \mathrm {Tor} _{p+q}^{A}(N,M)}$

一个右 ${\displaystyle R}$-模是平坦模的充要条件是 ${\displaystyle \mathrm {Tor} _{1}^{R}(M,-)=0}$。此时可推出 ${\displaystyle \forall n\geq 1,\;\mathrm {Tor} _{n}^{R}(M,-)=0}$。左 ${\displaystyle R}$-模的情况准此可知。事实上，计算 Tor 函子时可以用平坦分解代替射影分解；凡射影分解必为平坦分解，反之则不然；平坦分解在技术上较富弹性。

• Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press. ISBN 0-521-55987-1