abc猜想

abc猜想英語:)是一個未解決的數學猜想,最先由約瑟夫·奧斯特莱大衛·馬瑟在1985年提出。abc猜想以三個互質正整數a, b, c描述,c是a及b的和,猜想因此得名。京都大學數理解析研究所望月新一教授於2012年提出論文證明,經過8年同行審查後於2020年4月发表,但对于该证明的正确性仍存在极大争议。对此也衍生出一BOINC項目「ABC@Home」。

abc猜想若得證,數論中很多著名猜想可以立時得出。多利安·哥德費爾德稱abc猜想為「丟番圖分析中最重要的未解問題」。Goldfeld 1996

內容

對正整數表示質因數,稱為根基(radical)。例如

rad(16) = rad(24) = 2,
rad(17) = 17,
rad(18) = rad(2 ⋅ 32) = 2 · 3 = 6,
rad(1000000) = rad(26 ⋅ 56) = 2 ⋅ 5 = 10.

若正整數a, b, c 彼此互質,且a + b=c,「通常」會有c < rad(abc),例如:

, ,
, ,

但是也有反例,例如:

, , :因為,故此

如上有多於一個整數可被小的質數的高次冪整除,使rad(abc) < c,是較特殊的情況。ABC@Home計劃目的在尋找更多這樣的例子。

abc猜想(一)

對於任何,只存在有限個互質正整數的三元組(a, b, c),c = a + b,使得

abc猜想也有以下等價的表述方式:

abc猜想(二)

對於任何,存在常數,使得對於互質正整數的三元組(a, b, c),c = a + b,有:

abc猜想第三個表述方式,用到了三元組(a, b, c)的品質(quality),定義為:

例如:

  • q(4, 127, 131) = log(131) / log(rad(4·127·131)) = log(131) / log(2·127·131) = 0.46820...
  • q(3, 125, 128) = log(128) / log(rad(3·125·128)) = log(128) / log(30) = 1.426565...

一般的互質正整數的三元組,通常有 rad(abc) > c,因此q(a, b, c) < 1。q大於1的情況較少出現。

abc猜想(三)

對於任何,只存在有限個互質正整數的三元組(a, b, c),c = a + b,使得

abc猜想中的ε不能去掉,不然命題就不成立。考慮以下例子:

, ,

這三個正整數互質,且有。注意到可被整除,因此有

:

因此

n趨向無限大時,也趨向無限大。因此不存在常數C,使得 c < C rad(abc)對所有適合條件的三元組都成立。

可得出的結果

如果abc猜想得證,那麼有很多結果可以推導出來。其中一些結果,在abc猜想提出後,已經以其他方法得到證明,一些則仍然為猜想。

理論結果

abc猜想導出cabc的根基的接近線性函數的上界;不過,現在已知的是指數上界。確切結果如下:

Stewart & Tijdeman 1986,
Stewart & Yu 1991,
Stewart & Yu 2001.

上述的上界中,K1是不依賴a, b, c的常數,而K2K3是(以可有效計算的方式)依賴於ε的常數,但不依賴於a, b, c。上述的上界對c > 2的三元組都成立。

計算結果

2006年,荷蘭的萊頓大學數學系與Kennislink科學研究所合作,開展ABC@Home計劃。這個計劃是網格計算系統,目的在找出更多的正整數三元組a, b, c使得rad(abc) < c。雖然有無限個例子或反例不能解決abc猜想,但是期望藉著這個計劃發現的三元組的模式,可以得出對這個猜想以至於數論的新的洞見。

下述的q是上節定義的品質

符合q > 1的三元組分佈[4]
  q > 1 q > 1.05 q > 1.1 q > 1.2 q > 1.3 q > 1.4
c < 102 644200
c < 103 311714831
c < 104 12074502283
c < 105 41824015251136
c < 106 1,2686673791022911
c < 107 3,4991,6698562106017
c < 108 8,9873,8691,8013849825
c < 109 22,3168,7423,69370614434
c < 1010 51,67718,2337,0351,15921851
c < 1011 116,97837,61213,2661,94732764
c < 1012 252,85673,71423,7733,02845574
c < 1013 528,275139,76241,4384,51959984
c < 1014 1,075,319258,16870,0476,66576998
c < 1015 2,131,671463,446115,0419,497998112
c < 1016 4,119,410812,499184,72713,1181,232126
c < 1017 7,801,3341,396,909290,96517,8901,530143
c < 1018 14,482,0652,352,105449,19424,0131,843160

截至2014年4月 (2014-04),ABC@Home找出 2380 萬個三元組,現今目標在找出c不大於263的所有三元組(a,b,c)。[5]

已知之中最高品質的三元組[6]
  q a b c 發現者
1 1.62992310·109235Eric Reyssat
2 1.626011232·56·73221·23Benne de Weger
3 1.623519·13077·292·31828·322·54Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski
4 1.5808283511·13228·38·173Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski, Abderrahmane Nitaj
5 1.567912·3754·7Benne de Weger

歷史

1996年,艾倫·貝克(Alan Baker)提出一個較為精確的猜想,將取代,在此的不同質因數的數目。

2007年,呂西安·施皮羅嘗試給出證明,後來被發現有錯誤。[7]

2012年8月,日本京都大學數學家望月新一發表長約五百頁的abc猜想的證明,以他建立的宇宙際泰赫米勒理論(inter-universal Teichmüller theory)為基礎[8][9][10]。該證明目前正由其他數學專家檢查中。[11]当Vesselin Dimitrov和阿克沙伊·文卡泰什在2012年10月发现一处错误时,望月新一在他的网站确认了此错误,并声称这个错误能够在近期修补,不会影响最后的结果[12]。2012年12月,望月新一在自己主页贴出了自己对所有四篇文章的修改稿。主要包含27条重要的修改。2012年12月-2013年2月,他又屡次对文章进行了修订,新修正了18处错误,當中很多也是打字错误[13]。望月新一在網上公開了2013年[14]以及2014年[15]的檢驗進度報告。2018年8月,皮特·舒爾策Jakob Stix指出,望月新一的證明論文中 Corollary 3.12 證明結尾的一行推理存在無法修復的缺陷。[16]望月認為二者的批評存在“某種根本上的誤解”。[17]

參見

参考文献

引用

  1. (PDF). [2014-09-29]. (原始内容 (PDF)存档于2009-02-05).
  2. Mollin (2009)
  3. Mollin (2010) p.297
  4. , RekenMeeMetABC.nl, [October 3, 2012], (原始内容存档于2008年12月22日) (荷兰文).
  5. , ABC@Home, [April 30, 2014], (原始内容存档于2014年5月15日)
  6. . Reken mee met ABC. 2010-11-07 [2014-10-28]. (原始内容存档于2014-10-25).
  7. "Finiteness Theorems for Dynamical Systems", Lucien Szpiro, talk at Conference on L-functions and Automorphic Forms (on the occasion of Dorian Goldfeld's 60th Birthday), Columbia University, May 2007. See Woit, Peter, , Not Even Wrong, May 26, 2007 [2014-10-28], (原始内容存档于2014-10-28).
  8. Mochizuki, Shinichi. (PDF). Working Paper. August 2012 [2012-09-20]. (原始内容 (PDF)存档于2016-12-28).
  9. Ball, Phillip, , Nature, 10 September 2012 [2012-09-12], (原始内容存档于2012-09-12).
  10. Cipra, Barry, , Science, September 12, 2012 [2012年9月20日], (原始内容存档于2012年9月16日).
  11. . [2012-09-12]. (原始内容存档于2012-09-12).
  12. Kevin Hartnett. . Boston Globe. 3 November 2012 [2013-03-30]. (原始内容存档于2013-03-26).
  13. . [2013-06-15]. (原始内容存档于2014-08-22).
  14. (PDF). [2014-09-29]. (原始内容存档 (PDF)于2014-09-13).
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  16. . www.solidot.org. [2018-10-10]. (原始内容存档于2018-10-11).
  17. . www.solidot.org. [2018-10-10]. (原始内容存档于2018-10-11).

来源

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外部連結

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