零测集

实数的有限或可数无限子集都是零测集。例如自然数集合和有理数集合都是实数集的可数无限子集，因此它们是零测集。

康托尔集是一个不可数的零测集。

设${\displaystyle A}$是实数集${\displaystyle \mathbb {R} }$的子集，满足

${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\ \exists \left\{U_{n}\right\}_{n}:U_{n}=(a_{n},b_{n})\subset \mathbb {R}$ :\quad A\subset \bigcup _{n=1}^{\infty }U_{n}\ \land \ \sum _{n=1}^{\infty }\left|U_{n}\right|<\varepsilon \,,}

其中${\displaystyle U_{n}}$表示区间，${\displaystyle |U|}$是区间${\displaystyle U}$的长度，则${\displaystyle A}$是零测集。[1]

在数学分析的术语中，这个定义要求存在${\displaystyle A}$的开覆盖序列，该序列覆盖长度的极限收敛到0。

• 空集总是零测集。
• 可数个零测集的并集是零测集。
• 零测集的任何一个可测子集是零测集。

零测集在勒贝格积分的定义中起到了关键作用。如果函数f和函数g除一个零测集以外处处相等，则f可积当且仅当g可积，并且二者的积分相等。这使Lp空间定义为除零测集外均为同一类函数的集合。