雙曲三角形

雙曲三角形，由3個雙曲線段組成

雙曲三角形和一般的三角形一樣，由3個邊和3個頂點組成。構成雙曲三角形的3個點不落在相同的雙曲直線上。同時，這3條邊為連接這三個點的雙曲線段。[6]

雙曲三角形有部分性質與歐幾里得幾何中的平面三角形類似，例如每個雙曲三角形皆存在內切圓，但並非每個雙曲三角形都有外接圓。雙曲三角形的頂點可以落在雙曲極限圓或超圓形上。[7]

雙曲三角形的定義上允許點位於無窮遠點，即位於理想邊界上的理想點，並保持邊位於同一個雙曲平面上。如果三角形有一對極限平行（即兩個邊在往理想點逼近時，距離趨近於零，但不相交），則其將交於無窮遠處的理想點，則該點稱為歐米加點。該邊的夾角為0。這種三角形稱為歐米加三角形。[8]

具有理想點的三角形有幾個特例：

雙曲三角形邊與角的關係與球面三角形類似，例如：球面幾何和雙曲幾何中，長度尺度都可以利用具有固定角度的等邊三角形邊長來定義。[12]

若將長度以絕對長度（一種特殊的長度單位，類似於球面幾何中的距離之間的關係）來定義，能使不少雙曲三角形的公式更為簡化。[13]

在龐加萊半平面模型中，絕對長度對應於無窮小的度量${\displaystyle ds={\frac {|dz|}{\operatorname {Im} (z)}}}$，在龐加萊圓盤模型中對應於${\displaystyle ds={\frac {2|dz|}{1-|z|^{2}}}}$。

以高斯曲率為負常數${\displaystyle K}$的雙曲平面而言，絕對長度的單位長對應到的長度為：

${\displaystyle R={\frac {1}{\sqrt {-K}}}}$

在雙曲三角形中，角A、B、C（分別與對應字母的邊相對）之和嚴格小於平角。平角的度數與內角和的差稱為該三角形的角虧。雙曲三角形的面積等於其角虧（以弧度計）乘以R的平方：

${\displaystyle (\pi -A-B-C)R^{2}{}{}\!}$

這個定理最早由约翰·海因里希·朗伯證明[14]，可以視為高斯-博内定理在常曲率曲面的特例[15]^:96–108。

• Svetlana Katok (1992) Fuchsian Groups, University of Chicago Press ISBN 0-226-42583-5