立方截角立方八面體

立方截角立方八面體在考克斯特—迪肯符号中可以表示為[3]（x4/3x3x4*a）[14]，在威佐夫記號中可以表示為3 4/3 4 |[1][2]^:121或4/3 3 4 |[3][4][5]。

由於立方截角立方八面體的頂點圖為不等邊三角形且具備點可遞的特性，同時，其存在自相交的面，並可以透過星形正多面體進行廣義截角來構造，因此立方截角立方八面體是一種自相交截角擬正多面體（Self-Intersecting Truncated Quasi-Regular Polyhedra）。自相交截角擬正多面體一共有五種，分別為立方截角立方八面體、星形截角截半立方體、二十面截角十二面十二面體、截角截半大十二面體和大截角截半二十面體。[15]這些立體由阿爾伯特·巴杜羅（Albert Badoureau）和約翰·皮奇（Johann Pitsch）於1881年發現並描述。[16][17]

若立方截角立方八面體的邊長為單位長，則其外接球半徑為七的平方根的一半：[18]

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {7}}{2}}\approx 1.3228756555}$

邊長為單位長的立方截角立方八面體，中分球半徑為六的平方根的一半：[8][7]

${\displaystyle R_{M}={\frac {\sqrt {6}}{2}}\approx 1.22474487139}$

立方截角立方八面體有三種二面角，分別為八邊形和六邊形的二面角、八邊形和八角星的二面角以及八角星和六邊形的二面角。[11][8]

其中，八邊形和八角星的二面角為直角，即90度角[11][8]；而八邊形和六邊形的二面角為3的平方根之倒數的反餘弦值，約為54.735610度：[11][8]

${\displaystyle \angle }$八邊形${\displaystyle ,}$六邊形${\displaystyle \,=\arccos \left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\right)}$[11]${\displaystyle =\arccos \left({\frac {\sqrt {3}}{3}}\right)}$[8]${\displaystyle \approx \,}$0.9553166181245${\displaystyle \,\approx \,}$54.735610317°[8]

八角星和六邊形的二面角為負3的平方根之倒數的反餘弦值，約為125.264390度：[11][8]

${\displaystyle \angle }$八角星${\displaystyle ,}$六邊形${\displaystyle \,=\arccos \left(-{\frac {1}{\sqrt {3}}}\right)}$[11]${\displaystyle =\arccos \left(-{\frac {\sqrt {3}}{3}}\right)}$[8]${\displaystyle \approx \,}$2.186276035${\displaystyle \,\approx \,}$125.264389683°[8]

立方截角立方八面體的凸包是一個非均勻的大斜方截半立方体，其六邊形面由等角但不等邊的六邊形組成。[7][19]

凸包 （等角六邊形面）

立方截角立方八面體

立方截角立方八面體的頂點座標為下列座標的全排列：[8]

(±(√2−1), ±1, ±(√2+1))