中分球

三维凸多面体的中分球定义为与多面体的每条边相切的球体。也就是说，每条边都恰好与该球交于一点，而没有边的线段「穿过球体」的情况发生。此时，这个球体与多面体之面相交的部分恰好为该面的内切圆。[5] 当中分球存在时，它是唯一的。并非每个凸多面体都有中分球；有中分球的多面体每个面都必须有一个内切圆（即这个多面体每个面必须都是圆外切多边形），并且这些内切圆共球，也就是它们都同属于一个球体。例如，长方体[注 1]仅有当所有边等长变为立方体时才具有中分球，否则边不等长的长方体，其矩形面不存在内切圆。[6]

几何中心位于笛卡尔座标系原点的单位立方体，其八个顶点为${\textstyle (\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}})}$，边的中点与原点的距离为${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$。因此这个立方体的中分球以原点为中心，半径为${\textstyle 1/{\sqrt {2}}}$。这个半径大于其内切球半径${\textstyle {\tfrac {1}{2}}}$，并小于外置球半径${\textstyle {\sqrt {3/4}}}$。更一般地，任何边长为${\displaystyle \ell }$的柏拉图立体，其中分球半径为[7]：

• ${\displaystyle {\tfrac {1}{2{\sqrt {2}}}}\ell }$（正四面体）
• ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\ell }$（正八面体）
• ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\ell }$（立方体）
• ${\displaystyle {\tfrac {\varphi }{2}}\ell }$（正二十面体，其中${\displaystyle \varphi }$为黄金比例）
• ${\displaystyle {\tfrac {\varphi ^{2}}{2}}\ell }$（正十二面体）

凸均匀多面体，包括凸正多面体、拟正多面体和半正多面体及其对偶多面体都具有中分球。在凸正多面体中，内切球、中分球和外置球都存在且同心[8]，其中分球与凸正多面体每条边的中点相切。[9]

四个成对的相切球体的中心形成克雷尔四面体（Crelle's tetrahedra）的顶点。此处，四个相等的球体形成一个正四面体。中分球穿过这些球体的六个切点，在这种情况下形成正八面体

并非所有不规则四面体都具有中分球。存在中分球的四面体称为「克雷尔四面体」（Crelle's tetrahedra）；其形成所有四面体之六维空间中的一个四维子集（由它们的六个边长参数化）。更精确地说，克雷尔四面体的四个顶点来自四个相互外切的球之球心。在这种情况下，四面体的六个边长是这四个球体半径的两两之和。[11] 这种四面体的中分球与四面体边相切的点为四个生成球体中的两个球体彼此相切且垂直于所有四个生成球体的点。[12]

• 内切球
• 外置球