矩阵多项式

给定自然数n、系数环${\displaystyle \mathbf {R} }$以及n阶方块矩阵A，一个关于矩阵A的d次的矩阵多项式通常写作：

${\displaystyle P(A)=\alpha _{0}\mathbf {I} _{n}+\alpha _{1}A+\alpha _{2}A^{2}+\cdots +\alpha _{d}A^{d}=\sum _{i=0}^{d}\alpha _{i}A^{i}}$

其中的${\displaystyle \alpha _{0},\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{d}}$都是系数环${\displaystyle \mathbf {R} }$中的元素。这其实是可以看作将${\displaystyle \mathbf {R} [\lambda ]}$中的多项式：

${\displaystyle P(\lambda )=\alpha _{0}+\alpha _{1}\lambda +\alpha _{2}\lambda ^{2}+\cdots +\alpha _{d}\lambda ^{d}=\sum _{i=0}^{d}\alpha _{i}\lambda ^{i}}$

中的不定元${\displaystyle \lambda }$换成了一个n阶方块矩阵A后得到的结果。P(A)和A一样，也是一个n阶方块矩阵。

给定一个n阶方块矩阵A，如果一个非零多项式${\displaystyle f\in \mathbf {R} [\lambda ]}$满足：${\displaystyle f(A)=0}$，则称多项式f是矩阵A的零化多项式。根据开莱－哈密尔顿定理，特征多项式${\displaystyle \Pi _{A}(\lambda )}$满足${\displaystyle \Pi _{A}(A)=0}$，所以${\displaystyle \Pi _{A}}$是一个零化多项式。所有零化多项式中次数最低的称为A的最小多项式，记作${\displaystyle \pi _{A}}$。所有关于A的矩阵多项式Q都可以通过最小多项式化简为一个次数严格小于${\displaystyle \pi _{A}}$的多项式。事实上，存在多项式${\displaystyle Q,\;R\;\in \mathbf {R} [\lambda ]}$，使得：

${\displaystyle P=Q\pi _{A}+R}$

并且其中R的次数严格小于${\displaystyle \pi _{A}}$的次数。所以：

${\displaystyle P(A)=Q(A)\pi _{A}(A)+R(A)=Q(A)\cdot 0+R(A)=R(A).}$