球 (数学)

在 ${\displaystyle n\,\!}$ 维欧氏空间里，半径 ${\displaystyle R\,\!}$ 的球之 ${\displaystyle n\,\!}$ 维体积为[1]：

${\displaystyle V_{n}(R)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}R^{n},}$

其中，Γ是李昂哈德·欧拉的Γ函数（可被视为阶乘在实数的延伸）。使用Γ函数在整数与半整数时的公式，可不需要估算Γ函数即可计算出球的体积：

${\displaystyle V_{2k}(R)={\frac {\pi ^{k}}{k!}}R^{2k},}$

${\displaystyle V_{2k+1}(R)={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{(2k+1)!!}}R^{2k+1}={\frac {2(k!)(4\pi )^{k}}{(2k+1)!}}R^{2k+1}.}$

在奇数维度时的体积公式里，对每个奇数${\displaystyle 2k+1\,\!}$，双阶乘 (2k + 1)!! 定义为 (2k + 1)!! = 1 · 3 · 5 ··· (2k − 1) · (2k + 1)。

在具 p-范数 L_p 的笛卡尔空间 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 里，开球是指集合

${\displaystyle B(r)=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\,:\,\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|^{p}<r^{p}\right\}.}$

在二维（n=2）时，L₁（通常称为曼哈顿度量）的球是对角线平行于坐标轴的正方形；而 L_∞（切比雪夫度量）的球则是个边平行于坐标轴的正方形。对于 p 的其他值，该球则会是超椭圆的内部。

在三维（n=3）时，L₁ 的球是个对角线平行为坐标轴的八面体，而 L_∞ 的球则是个边平行为坐标轴的正立方体。对于 p 的其他值，该球则会是超椭球的内部。

更一般性地，给定任一 Rⁿ 内中心对称、有界、开放且凸的集合 X，均可定义一个在 Rⁿ 的范数，该球均为 X 平移再一致缩放后所得之集合。须注意，若将此定理内的「开」子集以「闭」子集替代，则定理不能成立，因为原点也符合定理内所定之集合，但无法定义 Rⁿ 内的范数。

“（开）球”一词有时被非正式地用于指代任何开集：可以用“p 点周围的一个球”代表包含p 的一个开集。该集合同胚于什么依赖于背景拓扑空间以及所选取的开集。同样，“闭球”有时用于表示这样一个开集的闭包。（这可能产生误导，例如超度量空间中一个闭球不是同样半径的开球的闭包，它们都是既开且闭的。）

有时，邻域用于指代这个意义上的球，但是邻域其实有更一般的意义：p 的一个邻域是任何包含一个p 的开集的集合，因此通常不是开集。

X 内的 n 维（开或闭）拓扑球是指 X 内同胚于 n 维（开或闭）欧几里得球的任一子集，该子集不一定需要由某个度量导出。n 维拓扑球在组合拓扑学里很重要，为建构胞腔复形的基础。

任一 n 维开拓扑球均同胚于笛卡尔空间 Rⁿ 及 n 维开单位超方形 ${\displaystyle (0,1)^{n}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$。任一 n 维闭拓扑球均同胚于 n 维闭超方形 [0, 1]ⁿ。

n 维球同胚于 m 维球，若且唯若 n = m。n 维开球 B 与 Rⁿ 间的同胚可分成两种类型，以 B 的两种可能之拓扑定向来区分。

一个 n 维拓扑球不一定是光滑的；若该球是光滑的，亦不一定需微分同胚于一 n 维欧几里得球。