涡旋

涡旋的动力学基本概念是涡量，这是描述流体中观测者所见特定一点上旋转运动的矢量。概念上涡量可以通过放置一个小粗糙球体放在要观测的点，并且让该球随流体运动以观察它如何环绕涡旋的轴心。涡量矢量的方向将是想像的球体旋转方向的轴方向（根据右手定则），而矢量长度将正比（2倍）于球体的角速度。数学上，涡量被定义为流体速度场的旋度，通常以 ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ 表示，并相等于矢量分析公式 ${\displaystyle \nabla \times {\vec {\mathit {u}}}}$；${\displaystyle \nabla }$ 是Nabla算子，${\displaystyle {\vec {\mathit {u}}}}$ 则是区域流速[5]。

经由涡量 ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ 求得的局部旋转量不可和相对外部环境或任何固定轴的局部角速度矢量混淆。特别是在涡旋中涡量${\displaystyle {\vec {\omega }}}$的方向可能和相对于涡旋线的流体平均角速度矢量相反。涡量的定义也不等于局部流体的旋转速度，而是旋转速度的2倍。

在涡旋中，涡量取决于随着和轴的距离r变化的流体速度u。有两个特殊的状况：

刚体（旋转）涡旋。

• 如果流体的转动类似刚体，即角速度Ω固定，则速度u将会随距离轴的距离r成正比。在这情况下的涡量在涡旋各处均相同：涡量方向平行于转轴，并且强度相等于相对转轴的固定角速度Ω的2倍。

  ${\displaystyle {\vec {\Omega }}=(0,0,\Omega ),\quad {\vec {r}}=(x,y,0),}$

  ${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {\Omega }}\times {\vec {r}}=(-\Omega y,\Omega x,0),}$

  ${\displaystyle {\vec {\omega }}=\nabla \times {\vec {u}}=(0,0,2\Omega )=2{\vec {\Omega }}}$。

非旋涡旋。

• 如果转动速度u和距离轴距离r成反比，则右图中想像的球将不会自行转动：该球将会在环绕涡旋的轴进行原周运动时保持相同方向。这时涡量 ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$为在轴以外的任一处都为0，即为非旋流。

  ${\displaystyle {\vec {\Omega }}=(0,0,\alpha r^{-2}),\quad {\vec {r}}=(x,y,0),}$

  ${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {\Omega }}\times {\vec {r}}=(-\alpha yr^{-2},\alpha xr^{-2},0),}$

  ${\displaystyle {\vec {\omega }}=\nabla \times {\vec {u}}=0}$。

在没有外力的情况下，涡旋通常会快速演变为非旋流，这时流速u与轴距离r成反比。因此非旋涡旋也称为「自由涡旋」。

在非旋涡旋中，沿着任何转轴不包含在内的封闭流在线的环量均为0；如包含转轴则有固定的值${\displaystyle \Gamma }$[6]。涡旋中特定一点的切向速度为${\displaystyle u_{\theta }=\Gamma /(2\pi r)}$。因此，相对转轴的单位质量角动量守恒，其值为${\displaystyle ru_{\theta }=\Gamma /(2\pi )}$。

然而，理想的非旋涡旋流实际上是不能实现的，因为它代表粒子的速度在接近涡旋线时会无边界限制地增加（并且需要有力量保持粒子在环状路径上）。实际上，真实的涡旋总是在接近轴的内核区域时粒子速度停止增加，并且在距离r为0时下降为0。这个区域就不再是非旋涡旋：涡量${\displaystyle {\vec {\omega }}}$在该区内的值并非0，并且方向大致和涡旋线平行。兰金涡旋是一个假设距离r的值低于固定距离r₀时，内部区域为刚体旋转流，旋转内核外的区域为非旋流的模型。兰姆－奥辛涡旋模型则是以纳维-斯托克斯方程描述的流体状态，并假设涡旋为圆柱型对称时的精确解。在此：

${\displaystyle u_{\theta }=(1-e^{-r^{2}/(4\nu t)})\Gamma /(2\pi r)}$。

在非旋涡旋中，相邻流线中各流体的移动速度均不相同，因此会产生摩擦力造成能量损失，尤其是接近转轴的内核区域。

涡量远离中心轴即不为0的旋转涡旋可以只需要一些外力作用就能永久保持该状态，因此它不能由流体本身产生。

例如假设有一个水桶以固定角速度w环绕一个垂直轴，水最终会以刚体模式旋转。之后粒子会以圆形路径运动，速度u等于wr[6]。在本例中，不受约束的水面将会呈现抛物面形状。

在这些状况下，刚体旋转的水桶外壳提供了一个额外的力，即方向向内的水的额外压力梯度，并且阻止了刚性涡旋流演变为无旋流。

在一个固定的涡旋，典型的流线（流线任一处的切线都是速度矢量）是闭合的绕轴环线；并且每个涡旋线（涡旋线任一处的切线均为涡量矢量）大致和轴方向平行。在各处都是速度和涡量切平面的平面则被称为「涡旋管」（Vortex tube）。一般来说，涡旋管都围绕涡旋的转轴周围。轴本身也是其中一条涡旋线，并且涡旋管有直径为0的极限情况。

根据亥姆霍兹定理，涡旋线的起点或终点不可在流体内，除了旋涡正在形成或消失的短暂非定常流动时。一般情形下，涡旋线（尤其是轴线）不是封闭的环线就是在流体边界截止。涡流是涡旋线在流体边界截止的例子，即轴线在自由表面截止。涡旋管的涡旋线全都是封闭环线，因此外观上类似封闭的环面状表面。新形成的涡旋会快速伸展和弯曲以消除任何开放终端的涡旋线。例如当飞机引擎启动时，在螺旋桨或涡轮扇发动机前方经常会形成涡旋。这时涡旋线的其中一个端点在引擎上，另一个端点会随着涡旋伸展和弯曲直到接触地表为止。

当使用烟雾或墨水使涡旋肉眼可见时，似乎可看到螺旋形的迹线和流线存在。事实上这是一个错觉，并且流体粒子是在封闭路径中移动的。被当成流线的螺旋状条纹实际上是原本跨越了数条流线的被标记的团块，并且因为非均匀的速度分布而延伸为螺旋状。这样的例子有星系的螺旋臂和热带风暴。

在涡旋中运动的流体会产生动态压力（非流体静压力），并且根据伯努利定律，动态压力在接近轴心处最低，并随着与轴心距离增加。因此可以说压力梯度迫使流体环绕轴心弯曲运动。

在刚体涡旋中，流动的流体有固定的密度，动态压力和距离轴的距离r的平方成正比。在固定重力场中，如果自由表面存在，表面将呈现中央凹陷的抛物面。

在流体密度固定，且形状为圆柱对称的非旋涡旋流中，动态压力变化关系式为：P_∞ − K/r²。P_∞是距离轴无线远处的压力。该公式提供了另一种限制内核区域范围的规则，因为压力不为负值。自由表面（如果存在的话）在靠近轴心的区域深度会快速下降，并且与r²成反比。

空气中涡旋的内核有时候是可见的，这是因为在内核的低压和低温下因为凝结而形成水蒸气羽流，漏斗状的龙卷风就是一个典型的例子。当一条涡旋线在边界表面终止，压力的下降可能使物质从表面被带入内核。例如沙尘暴是沙被接触到地面的空气涡旋内核吸入内核。同样的道理，水中的涡旋如果在表面终止（例如在浴缸中形成的漩涡），也可能将空气吸入涡旋内核。停在地面的飞机从发动机向前沿伸出的涡旋也可将水和小石块吸入内核，再进入发动机。

机翼通过时产生的涡旋，在此以有色烟雾显示其存在。

涡旋不是稳定的，它们可以位移和改变形状。

在运动中的涡旋，粒子的路径不再是封闭的，而是类似螺旋或摆线的曲线。

涡流也可以和径向或轴向流合并。这时流线和迹线就不再是封闭曲线，而分别是螺线或螺旋。这样的例子分别是龙卷风和排水漩涡的状况。带有螺旋流线的涡旋被称为螺线管。

只要黏性和扩散的影响可忽略不计，流体会随着移动的涡旋而运动。特别是在物质被限制在内部的内核区域在涡旋移动时相当容易留在内部，这是亥姆霍兹第二定理的结果。因此，和面波以及P波不同的是涡旋可以将质量、能量以及动量传递到相对于涡旋本身相当大的距离，并且扩散程度令人惊讶地少。这效应可在烟圈、涡环玩具和涡环枪看到。

2个以上涡旋如果大致平行，并且以相同方向旋转的话，将会互相吸引，最后合并为单一涡旋，并且合并后的环量将是合并前所有涡旋环量的总和。例如产生上升力机翼会在其后缘产生一系列的小涡旋。这些小型的涡旋会合并为一个大型的翼尖涡流，而翼尖涡流环量小于翼弦边缘的下降流。这个现象也会发生在其他运动中的翼型，例如螺旋桨叶片。另一方面，两个平行但旋转方向相反的涡流（例如飞机的2个翼尖涡流）则倾向分离。

涡旋包含了流体圆周运动的巨大能量。在理想流体中能量永远不会消散，并且涡旋将永远保持下去。然而，真正的流体有黏度，将使流体从内核区域开始缓慢消散能量。只有通过因为黏度让涡旋消散能量才能让涡旋线的终点在流体中，而非流体边界。

• Loper, David E. (PDF) (NASA contractor report NASA CR-646). Washington: National Aeronautics and Space Administration. November 1966 [2014-09-10]. LCCN 67-60315. （原始内容存档 (PDF)于2022-07-15）.
• Batchelor, G.K. . Cambridge Univ. Press. 1967. Ch. 7 et seq. ISBN 9780521098175.
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