林德曼-魏尔斯特拉斯定理

e和π的超越性是这个定理的直接推论。

假设${\displaystyle \alpha }$是一个非零的代数数，那么${\displaystyle \left\{\alpha \right\}}$在有理数范围内是线性独立的集合，因此根据定理的第一种表述，${\displaystyle \left\{e^{\alpha }\right\}}$是一个代数独立的集合，也就是说，${\displaystyle e^{\alpha }}$是超越数。特别地，${\displaystyle e^{1}=e}$是超越数^。

另外，利用定理的第二种表述，我们可以证明，如果${\displaystyle \alpha }$是一个非零的代数数，那么${\displaystyle \left\{0,\alpha \right\}}$就是不同的代数数的集合，因此集合${\displaystyle \{e^{0},e^{\alpha }\}=\{1,e^{\alpha }\}}$在代数数范围内是线性独立的，特别地，${\displaystyle e^{\alpha }}$不能是代数数，因此一定是超越数。

现在，我们来证明${\displaystyle \pi }$是超越数。如果π是代数数，${\displaystyle 2\pi i}$也是代数数（因为${\displaystyle 2i}$是代数数），那么根据林德曼-魏尔斯特拉斯定理， ${\displaystyle e^{2\pi i}}$（参见欧拉公式）也是超越数，这与1是代数数的事实矛盾。

把这个证明稍微改变以下，可以证明如果${\displaystyle \alpha }$是一个非零的代数数，那么${\displaystyle \sin(\alpha )}$、${\displaystyle \cos(\alpha )}$、${\displaystyle \tan(\alpha )}$和它们的双曲函数也是超越数。

${\displaystyle p}$进数林德曼-魏尔斯特拉斯猜想，就是这个定理在p进数中也成立：假设${\displaystyle p}$是素数，${\displaystyle e^{\alpha _{1}},\ldots ,e^{\alpha _{n}}}$是${\displaystyle p}$进数，它们都是代数数，且在ℚ内线性独立，使得对于所有的${\displaystyle i}$，都有${\displaystyle |\alpha _{i}|_{p}<1/p}$。那么p进指数${\displaystyle e^{\alpha _{1}},\ldots ,e^{\alpha _{n}}}$在ℚ内是代数独立的。

• 证明e是无理数
• 证明π是无理数

• Baker, Alan, , Cambridge University Press, 1975, ISBN 052139791X

• 林德曼-魏尔斯特拉斯定理的证明（HTML）