李余代数

设 E 是域 k 上一个向量空间，上有一个线性映射 ${\displaystyle d\colon E\to E\wedge E}$ 从 E 到 E 与自身的外积。可将 d 惟一扩张成 E 的外代数上一个度数为 1 的分次导子[1]：

${\displaystyle d\colon \bigwedge ^{\bullet }E\rightarrow \bigwedge ^{\bullet +1}E.}$

那么二元组 (E,d) 称为李余代数如果 d² = 0，即外代数的分次分量与导子一起 ${\displaystyle (\bigwedge ^{*}E,d)}$ 构成一个上链复形：

${\displaystyle E\ \rightarrow ^{\!\!\!\!\!\!d}\ E\wedge E\ \rightarrow ^{\!\!\!\!\!\!d}\ \bigwedge ^{3}E\rightarrow ^{\!\!\!\!\!\!d}\ \dots .}$

向量空间上李代数结构是一个映射 ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$，反对称，且满足雅可比恒等式。等价地，一个映射 ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\colon {\mathfrak {g}}\wedge {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$ 满足雅可比恒等式。

对偶地，向量空间上李余代数结构是一个映射 ${\displaystyle d\colon E\to E\wedge E}$，满足上闭链条件。李括号的对偶诱导一个映射（余交换子）

${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]^{*}\colon {\mathfrak {g}}^{*}\to ({\mathfrak {g}}\wedge {\mathfrak {g}})^{*}\cong {\mathfrak {g}}^{*}\wedge {\mathfrak {g}}^{*}}$

这里同构 ${\displaystyle \cong }$ 对有限维成立；对偶是李乘积的对偶。在这种情形下，雅可比恒等式对应于上闭链条件。

更明确地，令 E 是一个李余代数。对偶空间 E^* 上带有

α([x, y]) = dα(x∧y)，对所有 α ∈ E 与 x,y ∈ E^*

定义的括号结构。

我们证明 E^* 上所赋予的是一个李括号。只需验证雅可比恒等式。对任意 x, y, z ∈ E^* 与 α ∈ E，

${\displaystyle d^{2}\alpha (x\wedge y\wedge z)={\frac {1}{3}}d^{2}\alpha (x\wedge y\wedge z+y\wedge z\wedge x+z\wedge x\wedge y)={\frac {1}{3}}\left(d\alpha ([x,y]\wedge z)+d\alpha ([y,z]\wedge x)+d\alpha ([z,x]\wedge y)\right),}$

这里最后一步是楔积的对偶与对偶的楔积的标准等同。最后，给出

${\displaystyle d^{2}\alpha (x\wedge y\wedge z)={\frac {1}{3}}\left(\alpha ([[x,y],z])+\alpha ([[y,z],x])+\alpha ([[z,x],y])\right).}$

因 d² = 0，从而

${\displaystyle \alpha ([[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y])=0}$ 对任意 α, x, y, 与 z。

这样，由双对偶同构雅可比恒等式成立。

特别地，注意到证明指出了上闭链条件 d² = 0 是雅可比恒等式在某种意义下的对偶。