有理簇

Lüroth 定理是關於有理簇的基本結論，它斷言：對於有理函數域 ${\displaystyle K(T)}$ 的子域 ${\displaystyle L}$，若次數 ${\displaystyle [K(T):L]}$ 有限，而 ${\displaystyle K}$ 代數閉，則 ${\displaystyle L}$ 也是個有理函數域。

翻譯成幾何語言，這相當於說：若對代數閉域 ${\displaystyle K}$ 上的代數曲線 ${\displaystyle C}$，存在滿態射 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\to C}$（或稱分歧覆蓋），則 ${\displaystyle C}$ 是有理簇。

有理簇有一個有用的性質：若 ${\displaystyle K}$ 非有限域，${\displaystyle X}$ 是 ${\displaystyle K}$-有理簇，則 ${\displaystyle X(K)}$ 在 ${\displaystyle X({\bar {K}})}$ 中稠密。

能由有理簇覆蓋的代數簇稱為單有理簇，用域論的語言來說，即是有理函數域 ${\displaystyle K(T_{1},\ldots ,T_{n})}$ 的子域 ${\displaystyle L}$，使得 ${\displaystyle [K(T_{1},\ldots ,T_{n}):L]}$ 有限。凡有理簇皆為單有理簇；在一維的情形，Lüroth 定理斷言單一維的有理簇皆是有理簇。

對於複代數曲面，同樣可由 Castelnuovo 定理導出單有理曲面皆為有理簇。但是在特徵 ${\displaystyle p>0}$ 時存在反例。在三維情形， Clemens 與 Griffiths 找出了反例。

• 代數群理論中常出現相關的結構；例如約化群皆為單有理簇，約化群對拋物子群的商是有理簇。

• Noether, Emmy, , J. Ber. d. DMV, 1913, 22: 316–319.
• Noether, Emmy, , Mathematische Annalen, 1918, 78: 221–229, doi:10.1007/BF01457099.
• Swan, R. G., , Inventiones Mathematicae, 1969, 7: 148–158, doi:10.1007/BF01389798
• Martinet, J., , , Lecture Notes in Mathematics 180, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1971, MR0272580