函数域

若 ${\displaystyle X}$ 是仿射整概形，${\displaystyle U\subset X}$ 为开集，则定义 ${\displaystyle K_{X}(U)}$ 为 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ 的分式域。此时 ${\displaystyle K_{X}}$ 是 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(X)}$ 的分式域的常数层。

若 ${\displaystyle X}$ 是整概形，而非仿射概形，则任何非空仿射开集都稠密。对任何开集 ${\displaystyle U\subset X}$，可以一致地定义 ${\displaystyle K_{X}(U):=K_{V}(U\cap V)}$，其中 ${\displaystyle V}$ 是任一非空仿射开集；这仍然是对应到一个域的常数层，该域称之为 ${\displaystyle X}$ 的函数域。另一种等价定义是 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ 在一般点的茎。

设 ${\displaystyle k}$ 为域，${\displaystyle X}$ 为不可约 ${\displaystyle k}$-代数簇，则 ${\displaystyle K_{X}}$ 是 ${\displaystyle k}$ 的域扩张，有时也写作 ${\displaystyle k(X)}$。此扩张的超越次数等于 ${\displaystyle \dim X}$，此命题可以化约到仿射簇的情形，再以诺特范式引理证明。

• ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 的函数域是 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$。

以下设 ${\displaystyle k}$ 为域。

• 单点 ${\displaystyle \mathrm {Spec} (k)}$ 的函数域是 ${\displaystyle k}$ 本身。
• 仿射直线 ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{1}}$ 与射影直线 ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{1}}$ 的函数域都是 ${\displaystyle k(t)}$，其中 ${\displaystyle t}$ 是 ${\displaystyle k}$ 上的超越元。
• 考虑平面曲线 ${\displaystyle y^{2}=x^{5}+1}$，其函数域是 ${\displaystyle k(x,y)}$，其中 ${\displaystyle x,y}$ 是 ${\displaystyle k}$ 上满足 ${\displaystyle y^{2}=x^{5}+1}$ 的超越元；一般代数曲线的函数域可以依此类推。当 ${\displaystyle k}$ 为有限域时，${\displaystyle k}$-代数曲线的函数域与数域之间有深刻的模拟。