数列

数列（英语：）是由数字组成的串行，也就是以正整数系为定义域，值域包含于某数系的函数。数列及其相关术语常用于有关递推规律的研究，而级数本身更是一种特殊的数列。

数列是特殊的串行，全部由数字组成。串行则范围更广，可以由有序的一系列数字、一系列函数、一系列矢量、一系列矩阵或一系列张量等等所组成，但有的微积分教材会用串行一词来称呼数列，读者需要自己留意。

正式定义

考虑到最一般的数为复数，可以作如下的定义：[1]

数列的定义 — 一个 $a:\mathbb {N} \to \mathbb {C}$ 的函数被称为无穷数列，可记为 ${\left\{a_{i}\right\}}_{i\in \mathbb {N} }$ 、 ${\left\langle a_{i}\right\rangle }_{i\in \mathbb {N} }$ 或 ${\left(a_{i}\right)}_{i\in \mathbb {N} }$ ，而 $a(i)$ 会被简记为 $a_{i}$ 。

若 $I_{n}=\left\{1,\,2,\,\cdots ,\,n\right\}$ ，则一个 $a:I_{n}\to \mathbb {C}$ 的函数被称为有限数列，可记为 ${\left\{a_{k}\right\}}_{k=1}^{n}$ 、 ${\left\langle a_{k}\right\rangle }_{k=1}^{n}$ 或 ${\left(a_{k}\right)}_{k=1}^{n}$ 。

在教学上常会如下标示有限数列，来增进对定义的直观理解：

\left\langle a_{k}\right\rangle _{k=1}^{n}=\left\langle a_{1},\,a_{2},\,a_{3},\,\cdots ,\,a_{n}\right\rangle

以上表达式中的每一个数被称为这个数列的「项」。 $a_{1}$ 为数列的「第一项」、 $a_{2}$ 为「第二项」，以此类推。 $n$ 被称为有限数列的项数。数列中的第一项常称为「首项」，最后一项则称为「末项」。注意有限数列也可以设为 $\left\langle a_{k}\right\rangle _{k=0}^{n}$ ，换句话说，把 $0$ 加入数列的定义域，并以第零项 $a_{0}$ 作为首项。无穷数列只有首项，没有末项，但类似的，也有人把 $0$ 踢出无穷数列的定义域，让无穷数列的首项为 $a_{1}$ 。

数列中各个项的和称为「级数」，换句话说

级数的定义 — 对于 ${\left\{a_{i}\right\}}_{i\in \mathbb {N} }$ ，根据集合论的公理和数学归纳法，存在唯一的无穷数列 ${\left\{s_{i}\right\}}_{i\in \mathbb {N} }$ 满足：

$s_{0}=a_{0}$
对所有的 $n\in \mathbb {N}$ 有 $s_{n+1}=s_{n}+a_{n}$

${\left\{s_{i}\right\}}_{i\in \mathbb {N} }$ 称为 ${\left\{a_{i}\right\}}_{i\in \mathbb {N} }$ 的级数。

一般会将 ${\left\{s_{i}\right\}}_{i\in \mathbb {N} }$ 写为 $\sum _{i=0}^{n}a_{i}$ ，甚至更直观的 $a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{n}$ 来凸显级数源于＂求和＂的直观概念。

级数的概念可以推广至数列以外的串行，比如说函数串行的函数级数。

分类

单调性

若对所有 $n \in Z +$ ， $a n +1 \geq a n$ ，则称数列 $⟨ a k ⟩$ 为「递增数列」。把 $\geq$ 换成 $>$ ，则称为「严格递增数列」。
若对所有 $n \in Z +$ ， $a n +1 \leq a n$ ，则称数列 $⟨ a k ⟩$ 为「递减数列」。把 $\leq$ 换成 $<$ ，则称为「严格递减数列」。
若对所有 $n \in Z +$ ， $a n +1 = a n$ ，则称数列 $⟨ a k ⟩$ 为「常数数列」。

有限性

若数列 $\left\langle a_{k}\right\rangle _{k=1}^{n}$ 的项数有限，则 $⟨ a k ⟩$ 为「有限数列」。
若数列 $\left\langle a_{k}\right\rangle _{k=1}^{\infty }$ 的项数无限，则 $⟨ a k ⟩$ 为「无穷数列」。

有界性

若对所有 $n \in Z +$ ， $M \leq a n \leq N$ ，则称数列 $⟨ a k ⟩$ 为「有界数列」。 $M$ 称为「下界」， $N$ 称为「上界」。
若对数列 $⟨ a k ⟩$ ，上述的 $M$ 、 $N$ 不存在，则称数列 $⟨ a k ⟩$ 为「无界数列」。

收敛性与极限

收敛性是数列的一个重要性质。如果一个数列逐渐趋近于某一个值，就称该数列为收敛数列，否则称为发散数列。

简单的说，一个数列 $\{x_{n}\}$ 有极限，便是它的数列中的元素逐渐地越来越靠近 $L$ （称为极限值），但是它们仍然任意得很靠近极限值 $L$ ，而不一定恰好相等。

举例来说：当 $a_{n}={\frac {1}{n}}$ 时，随着n的数字增加，可以看到它逐渐趋向于0。当 $a_{n}=5-{\frac {3n^{2}-9}{n^{2}+1}}$ 时，随着n的数字增加，可以看到它逐渐趋向于2。

此外，值得注意的是，当一个数列有极限值时，它的极限值一定是唯一的。一般来说，当数列收敛，我们会记 $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$ 。

收敛正式定义

我们说一个实数的数列 $\{a_{n}\}$ 收敛到实数 $L$ ，如果有对任意的 $\epsilon >0$ ，存在一个正整数 $N\in \mathbb {N}$ ，使得对所有的 $n\geq N$ ，有 $|a_{n}-L|<\epsilon$ 。

重要的特殊数列

等差数列：是一种特殊数列。数列中，从第二项起，每一项与前一项的差相等。

例如数列

1,3,5,7,9,\cdots ,9995,9997,9999,\cdots

。

这就是一个等差数列，因为第二项与第一项的差和第三项与第二项的差相等，都等于

2,9999

与

9997

的差也等于2。我们把像2这样的后一项与前一项的差称之为公差，符号为

d

，但是

d

可为0。

若设首项

a_{1}=a

，则等差数列的通项公式为

a_{n}=a_{1}+(n-1)d

。

多阶等差数列：又称高阶等差数列，中国则称之为“质数相关数列”。

把一个数列的所有后项与前一项之差组成一个新的数列，如果这个新的数列是普通等差数列，原数列就称为二阶等差数列。

由此类推，把一个数列的所有后项与前一项之差组成一个新的数列，再把这个新的数列的所有后项与前一项之差组成另一个新的数列，如此进行下去，直到最后的数列如果是普通等差数列，那么原数列就是多阶等差数列。

普通等差数列可以视为一阶等差数列，因而常数数列实际就是零阶等差数列。

等比数列：是一种特殊数列。它的特点是：从第2项起，每一项与前一项的比都是一个常数。

例如数列

2,4,8,16,32,\cdots ,2^{197},2^{198},2^{199},\cdots

。

这就是一个等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，都等于2，

2^{198}

与

2^{197}

的比也等于2。我们把像2这样的后一项与前一项的比称之为公比，符号为

r

。

若设首项

a_{1}=a

，则等比数列的通项公式为

a_{n}=ar^{n-1}

。

斐波那契数列：是一种特殊数列。它的特点是：首两项均是1，从第3项起，每一项均为前两项的和。

以数学符号表示，即

a_{1}=a_{2}=1

，且对于

n\geq 3

，

a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}

。

斐波那契数列的通项公式为

a_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left[\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right]

。

质数数列：目前找不到规律的特殊数列，即：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,…………

正负相间： $(-1)^{n}$ 或 $(-1)^{n-1}$

隔项有零： ${\frac {1}{2}}[(-1)^{n}+1]$ 或 ${\frac {1}{2}}[(-1)^{n-1}+1]$

数列的求和

通常对第1项到第 $n$ 项求和，记为 $S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}$ 。此求和符号是由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉使用和推广的。

一个特殊数列求和：奇数数列。1，3，5，7，9，...。其和为项数 $n$ 的平方。例如：1+3=2²,1+3+5=3²。

通项公式的求解

通常，从实际问题中会先得到一个递推关系式，但是可能会难以观察出数列中某一项的项数和具体大小之间的规律。所以需要求出这个数列的通项公式。以下是一些常见的递推式化简方法。通项公式的求解在积分学、线性代数、概率论、组合数学、趣味数学、数学物理、数学建模、数值分析、分形等领域中都会遇到。没有一种解法是通用的。求不出通项公式或只能进行估算的情形也可能出现。

数学归纳法

求出该数列的前数项，归纳其通项公式，然后用数学归纳法证明公式正确。

数学归纳法是最基本的方法，但对观察和归纳的能力要求比较高。如果猜不出规律，则不能使用此方法。

逐差全加

给定数列差 $d_{n}$ 时逐差全加，例如：

a_{1}=1

，

d_{n}=a_{n}-a_{n-1}=2n

, 求

a_{n}

a_{n}=a_{1}+\sum _{k=2}^{n}d_{k}=n^{2}+n-1

逐商全乘

给定数列比 $r_{n}$ 时逐差全乘，例如：

a_{1}=1

，

r_{n}={\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}={\frac {n}{n-1}}

，求

a_{n}

a_{n}=a_{1}\prod _{k=2}^{n}r_{k}=n

从和式求通项

如果已知数列和的公式，那么通项的求解非常容易。由 $S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{n}$ 可知 $S_{n}-S_{n-1}=a_{n}$

把 $S_{n}$ 看成一个数列，可以先对 $S_{n}$ 进行求解，然后得出 $a_{n}$ 。

换元法

换元法用于从形式上简化表达式，以突出问题的本质。换元法一般不单独使用，而是和其它方法结合使用。中学数学中常用的有对数换元法、三角函数换元法，还有用得很少的双曲函数换元法。

不动点法

对于形如齐次分式的递推关系，可利用不动点来推导。

已知 $Aa_{n+1}+Ba_{n}+C=0$ ，其中 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 都是常数，求 $a_{n}$ 。
求这类数列的通项公式，一般的方法就是将之化成一个新的等比数列。

如果 $A\neq -B$ ，那么这个式子就可以化成下面的形式：

$A(a_{n+1}+k)=-B(a_{n}+k)$ 。
求出 $k$ ，那么数列 ${a_{n}+k}$ 就是一个等比数列，从而求出通项公式。

如果 $A=-B$ ，这个递推关系就不能化为等比数列。如果 $A=-B$ ，那么它就是等差数列。另外，当 $A=B$ 的时候，它是一个等和数列。从这个问题我们可以看到，等和数列也可以化成一个等比数列。
除此之外也可以这样将之化成等比数列：

$Aa_{n+1}+Ba_{n}+C=0$
$Aa_{n}+Ba_{n-1}+C=0$
两边相减就有： $A(a_{n+1}-a_{n})+B(a_{n}-a_{n-1})=0$ ，如此就化成了一个等比数列。

已知 $Aa_{n+1}+Ba_{n}+Ca_{n-1}+D=0$ ,其中 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 都为常数，求 $a_{n}$ ；
与上述数列一样，它们一定可以化成下面的形式：
$Aa_{n+1}+Ea_{n}=k(Aa_{n}+Ea_{n-1})-D$
求出对应系数，于是就转化成了前面那种形式，然后就可以求出数列 ${Aa_{n}+Ea_{n-1}}$ 的通项公式，然后求出 $a_{n}$ 的通项公式。实际上这是一种逐步化简的方法。

其它方法

其它常用方法包括导数求通项法、组合数学中的母函数方法、特征方程法，这些一般是在大学课程或是部分高中的进阶课程中学到。其中特征方程法专门用于线性递推关系式的化简，与求解线性微分方程的特征方程法非常类似。

在其他数学领域的使用

参见

整数数列线上大全 (OEIS)

参考资料

谭杰锋; 郑爱武. . 清华大学出版社; 北京交通大学出版社. 2007. ISBN 978-7-8108-2647-1 （中文（中国大陆））.。

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[1] 谭杰锋; 郑爱武. . 清华大学出版社; 北京交通大学出版社. 2007. ISBN 978-7-8108-2647-1 （中文（中国大陆））.。