双摆

双摆是将一根单摆连接在另一个单摆的尾部所构成的系统。双摆同时拥有着简单的构造和复杂的行为。高能量双摆的摆动轨迹表现出对于初始状态的极端敏感。两个初始状态差异极小的双摆在一段时间的运行后表现非常不同，是一种具有混沌性质的简单动力系统[1][2]。

将一根单摆连接在另一根的尾部，即为双摆。

分析以及诠释

可以考虑许多不同种类的双摆：二个摆的长度及重量可能相同，也可能不同。二个摆可能都是单摆，也有可能是复摆（compound pendulum），其运动可能限制在二维空间，也可以在三维空间内进行。在以下的分析中，二个摆的摆长 $l$ 及质量都相同 $m$ ，运动限制在二维空间内。

双摆

双摆的运动，依运动方程进行数值积分所得

双摆的轨迹

复摆的质量假设是延着其长度均匀分布，则其复摆的质心是在中点，复摆的臂对中点的转动惯量为 $I = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/12ml2$ 。

比较方便定义系统位形空间的方式是用复摆臂和垂直线之间的夹角为广义座标。角度名称为 $θ 1$ 及 $θ 2$ 。二杆质心的位置可以用二个座标表示。若笛卡尔坐标系的原点是在第一个摆（最上方摆）的固定点，则其第一个摆的质心在：

{\begin{aligned}x_{1}&={\frac {l}{2}}\sin \theta _{1}\\y_{1}&=-{\frac {l}{2}}\cos \theta _{1}\end{aligned}}

第二个摆的质心在：

{\begin{aligned}x_{2}&=l\left(\sin \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}\sin \theta _{2}\right)\\y_{2}&=-l\left(\cos \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}\cos \theta _{2}\right)\end{aligned}}

上述信息已经可以创建拉格朗日量（Lagrangian）。

拉格朗日力学

双摆系统的拉格朗日量为

{\begin{aligned}L&={\text{kinetic energy}}-{\text{potential energy}}\\&={\tfrac {1}{2}}m\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}m\left({{\dot {x}}_{1}}^{2}+{{\dot {y}}_{1}}^{2}+{{\dot {x}}_{2}}^{2}+{{\dot {y}}_{2}}^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\end{aligned}}

第一项是质心的平移动能，第二项是摆延着质心旋转的转动动能，最后一项是双摆在均匀重心场下的势能。其点标示表示变量的时间导数。

将以上的座标代入，重组后可得

L={\tfrac {1}{6}}ml^{2}\left({{\dot {\theta }}_{2}}^{2}+4{{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+3{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right)+{\tfrac {1}{2}}mgl\left(3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}\right).

这里只有一个守恒量（能量），没有守恒的动量，二个广义的动量可以表示为

{\begin{aligned}p_{\theta _{1}}&={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\theta }}_{1}}}}={\tfrac {1}{6}}ml^{2}\left(8{{\dot {\theta }}_{1}}+3{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right)\\p_{\theta _{2}}&={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\theta }}_{2}}}}={\tfrac {1}{6}}ml^{2}\left(2{{\dot {\theta }}_{2}}+3{{\dot {\theta }}_{1}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right).\end{aligned}}

上式可以求得

{\begin{aligned}{{\dot {\theta }}_{1}}&={\frac {6}{ml^{2}}}{\frac {2p_{\theta _{1}}-3\cos(\theta _{1}-\theta _{2})p_{\theta _{2}}}{16-9\cos ^{2}(\theta _{1}-\theta _{2})}}\\{{\dot {\theta }}_{2}}&={\frac {6}{ml^{2}}}{\frac {8p_{\theta _{2}}-3\cos(\theta _{1}-\theta _{2})p_{\theta _{1}}}{16-9\cos ^{2}(\theta _{1}-\theta _{2})}}.\end{aligned}}

运动方程序为

{\begin{aligned}{{\dot {p}}_{\theta _{1}}}&={\frac {\partial L}{\partial \theta _{1}}}=-{\tfrac {1}{2}}ml^{2}\left({{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+3{\frac {g}{l}}\sin \theta _{1}\right)\\{{\dot {p}}_{\theta _{2}}}&={\frac {\partial L}{\partial \theta _{2}}}=-{\tfrac {1}{2}}ml^{2}\left(-{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+{\frac {g}{l}}\sin \theta _{2}\right).\end{aligned}}

最后四个方程是有系统目前状态时，系统随时间演进的显式方程。不太可能再进一步求得方程的积分解析解，得到 $θ 1$ 和 $θ 2$ 时间显函数的解。不过利用龙格－库塔法或其他数值方式，可以进行数值积分来求解。

复摆仿真示意图。

混沌运动

双摆不同初始条件下，翻倒时间的图

延时摄影拍摄的双摆轨迹

双摆的运动是混沌运动，且对初始条件非常敏感。右图是双摆在不同初始条件下，是否会翻倒（成为倒摆）的图。其 $θ 1$ 初始值的范围是在 $x$ 方向的−3到3，而 $θ 2$ 初始值的范围是在 $y$ 方向的−3到3。点的颜色说明摆在以下时间内会翻倒：

$10 \sqrt l ⁄ g$ （绿色）
$100 \sqrt l ⁄ g$ （红色）
$1000 \sqrt l ⁄ g$ （紫色）
$10000 \sqrt l ⁄ g$ （蓝色）

三个初始位置几乎相同的双摆，一段时间后轨迹的发散，表示系统的混沌特性

若在 $10000 \sqrt l ⁄ g$ 时间后，仍然不会翻倒，其颜色为白色。

中心白色区域的边界可以依能量守恒推得，为以下的曲线：

3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}=2.

因此若

3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}>2,

以能量的关系，双摆不可能翻倒。在此区域外，以能量来说，双摆有可能翻倒，但是否会翻倒本身是很复杂的问题。若双摆的末端是点质量，不是质量均匀分布的杆子，情形类似[3]。

双摆没有自然共振频率，因此可用在大楼抗震设计的双摆系统中，大楼本身是主要的倒摆，而上面又有一个质量，形成倒双摆。

参考数据

『机械工学辞典』日本机械学会、丸善、2007年1月20日、第2版、966页。ISBN 978-4-88898-083-8。
Levien RB and Tan SM. Double Pendulum: An experiment in chaos.American Journal of Physics 1993; 61 (11): 1038
Alex Small, Sample Final Project: One Signature of Chaos in the Double Pendulum, (2013). A report produced as an example for students. Includes a derivation of the equations of motion, and a comparison between the double pendulum with 2 point masses and the double pendulum with 2 rods.

Meirovitch, Leonard. 2nd. McGraw-Hill Science/Engineering/Math. 1986. ISBN 0-07-041342-8.
Eric W. Weisstein, Double pendulum （页面存档备份，存于） (2005), ScienceWorld (contains details of the complicated equations involved) and "Double Pendulum （页面存档备份，存于）" by Rob Morris, Wolfram Demonstrations Project, 2007 (animations of those equations).
Peter Lynch, Double Pendulum, (2001). (Java applet simulation.)
Northwestern University, Double Pendulum （页面存档备份，存于）, (Java applet simulation.)
Theoretical High-Energy Astrophysics Group at UBC, Double pendulum, (2005).

外部链接

麻省理工学院TSG小组进行的双摆行为演示（实物）（页面存档备份，存于）
Youtube上的双摆轨迹演示（电脑模拟）（页面存档备份，存于）

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[1] 『机械工学辞典』日本机械学会、丸善、2007年1月20日、第2版、966页。ISBN 978-4-88898-083-8。

[2] Levien RB and Tan SM. Double Pendulum: An experiment in chaos.American Journal of Physics 1993; 61 (11): 1038

[3] Alex Small, Sample Final Project: One Signature of Chaos in the Double Pendulum, (2013). A report produced as an example for students. Includes a derivation of the equations of motion, and a comparison between the double pendulum with 2 point masses and the double pendulum with 2 rods.

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