平面刚体运动
平面刚体运动,是一种在平面上进行的几何变换.反射变换和旋转变换等几何变换都有一个共同特点,即所谓“保距性”.也就是说,对于平面内任意两点P、Q,在反射(或某种几何变换)下对应的点是P'和Q',那么P'到Q'的距离,就等于PQ的距离.借用物理学上的刚体一词,我们把这种变换叫做:平面刚体运动.
解释
下面我们对上述定义做一个简单解释.任意一个平面刚体运动m:平面α→平面α都满足以下4条:
- 对于平面α内的任意一点P,在平面α内存在唯一的一点P'与之对应,记作P'=m(P),P'叫做P在m作用下的象;
- 任取平面α内的一点P',存在平面α内的唯一一点P,使得P'是P在变换m作用下的象;
- 任取平面α内的两点P1、P2,如果P1≠P2,那么它们的象也是不同的,即:m(P1)≠m(P2);
- 任取平面α内的两点P、Q,它们在m下的象是P'和Q',即:P'=m(P),Q'=m(Q),那么|P'Q'|=|PQ|,即点P',Q'之间的距离与点P,Q之间的距离相等.
性质
保持距离不变是m的一个很强的性质。通过这一性质我们可以证明:只要知道不共线的三点A,B,C在m下的象A',B',C',m就完全确定下来了
命题1
平面刚体运动
m:平面α→平面α
将平面α内的直线映射成直线,射线映射成射线,线段映射成等长的线段。
证明:令l是平面α内的任意一条直线,设m把l上所有的点映到点集l'.在l上任取两点A,B,设m把它们分别映射到A',B'.下面证明l'是过A',B'的直线.在AB上任取一点C,设m把点C映射到点C'.
- 当点C在AB之间时,由平面刚体运动的定义得:|A'C'|+|CB|=|AC|+|CB|=|AB|=|A'B'|,所以点C'在线段A'B'上.
- 当点C在AB的延长线上时,我们有:|A'B'|+|B'C'|=|AB|+|BC|=|AC|=|A'C'|,所以B'在线段A'C'上,即点C'在线段A'B'的延长线上.
- 同理可证,当点C在BA的延长线上时,点C'在线段B'A'的延长线上.
综上所述,由点A,B,C的任意性可知,l'是一条直线
证毕.[3]
特殊
设
m:平面α→平面α
是一个平面刚体运动,若在平面α内至少存在一个点O,点O在m的作用下保持不动,即m(O)=O,我们称m为有不动点的平面刚体运动.可以证明:只有反射变换和旋转变换是有不动点的平面刚体变换.[4]
参考资料
- 张英伯; 宋莉莉. . 人民教育出版社. 2007: 6. ISBN 978-7-107-18021-7.
- 张英伯; 宋莉莉. . . 人民教育出版社. 2007: 7. ISBN 978-7-107-18021-7.
- 张英伯; 宋莉莉. . . 人民教育出版社. 2007: 8. ISBN 978-7-107-18021-7.
- 张英伯; 宋莉莉. . . 人民教育出版社. 2007: 49. ISBN 978-7-107-18021-7.
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