对应原理

取普朗克极限 ${\displaystyle h\rightarrow 0}$，猜想波函数 ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,\,t)}$ 的形式为[11]^:102-103

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,\,t)=Ae^{iS(\mathbf {r} ,\,t)/\hbar }}$ ，

则可从量子力学的薛丁格方程序

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)+U(\mathbf {r} )\Psi (\mathbf {r} ,\,t)=i\hbar {\frac {\partial \Psi (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}}$ ，

推导出经典物理的哈密顿-雅可比方程序

${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\boldsymbol {\nabla }}S\right)^{2}+U(\mathbf {r} )+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0}$ ；

其中，${\displaystyle m}$ 是质量，${\displaystyle \mathbf {r} }$ 是位置 ，${\displaystyle t}$ 是时间 ，${\displaystyle S(\mathbf {r} ,\,t)}$ 是作用量，${\displaystyle \nabla ^{2}}$ 是拉普拉斯算符，${\displaystyle U(\mathbf {r} )}$ 是位势。

这意味着所有从薛丁格方程序推导出的量子行为，在普朗克极限 ${\displaystyle h\rightarrow 0}$，都会趋于经典物理行为。

普朗克常数是个基本物理常数。「恒定性」是所有基本物理常数都具有的特性。恒定性指的是基本物理常数，在不同的时间或空间，不会呈现出不同的数值。假若基本物理常数会因为时间或空间的不同而出现任何变化，这意味着宇宙存在着一种几乎零质量的场，其会与物质耦合，这会导致自由下落的普适性被违背。[12]

物理学者尚未从做实验发现，普朗克常数会随着时间或空间的不同而出现任何改变，也尚未完成任何能够改变普朗克常数的实验，更不知道是甚么机制给定普朗克常数其所呈现的数值。但有一点相当明确，那就是，普朗克极限 ${\displaystyle h\rightarrow 0}$ 只是一种数学运算，无法实际体现，为了避免被这问题困扰，必须对每一个案例，更详细地设置状况，例如，对于普朗克定律案例，可以假设 ${\displaystyle h\nu }$ 超小于 ${\displaystyle kT}$，然后做近似运算。[13]^:19-21[14]^:267-268[12]

有些简单的量子系统不能够使用普朗克对应原理来取得有意义的经典结果，例如，玻尔模型系统等等。稍后会对玻尔模型案例进行详细分析。[15]

按照频率诠释，在大量子数极限 ${\displaystyle n\gg 1}$，电子因轨道跃迁所发射的电磁辐射，其频率与经典预测相互统计符合。以方程序表示，[8]

${\displaystyle \nu _{n\rightsquigarrow n^{\prime }}=\omega _{\tau }=\tau \omega }$；

其中，${\displaystyle n}$ 与 ${\displaystyle n^{\prime }}$ 分别是电子初态与末态的量子数，${\displaystyle \nu _{n\rightsquigarrow n^{\prime }}}$ 是电子从初态跃迁至末态所发射出的电磁辐射频率，${\displaystyle \tau =n-n^{\prime }}$ 是初态与末态的量子数差，${\displaystyle \omega }$ 是电子运动的基本频率，${\displaystyle \omega _{\tau }}$ 是电子的经典电磁辐射频率．更仔细地说，是电子轨道位置函数的傅里叶级数的第 ${\displaystyle \tau }$ 次谐波的频率。

注意到两种预测结果的关系是统计符合。在经典物理里，电子辐射的所有谐波组分都会一起发射出来。在量子物理里，每一次跃迁只会发射出一个光子，因此必须用一个统计系综的跃迁来做比较。

按照强度诠释，在大量子数极限 ${\displaystyle n\gg 1}$，电子因轨道跃迁而发射的电磁辐射，其量子强度与经典预测相互统计符合。以方程序表示，[8]

${\displaystyle P_{n\rightsquigarrow n^{\prime }}\propto |C_{\tau }|^{2}}$；

其中，${\displaystyle P_{n\rightsquigarrow n^{\prime }}}$ 是电子从初态跃迁至末态的概率，${\displaystyle C_{\tau }}$ 是经典运动的第${\displaystyle \tau }$ 次谐波的振幅。

按照选择定则诠释，每一种量子跃迁对应于经典运动的一个谐波组分。更严格地表示，电子可以从定态 ${\displaystyle n}$ 量子跃迁至定态 ${\displaystyle n^{\prime }}$，若且惟若，其经典运动含有第 ${\displaystyle \tau }$ 次谐波 ；其中， ${\displaystyle \tau =n-n^{\prime }}$ 。[8]

玻尔最初认为选择定则诠释也必须遵守大量子数极限 ${\displaystyle n\gg 1}$，后来，他大胆地排除了这要求，正确地将其外推为适用于所有量子数。玻尔表示，[8]

当量子数很大时，某个跃迁的相对概率会以很简单地方式链接经典运动的对应谐波组分的振幅。这种独特关系意味着定态与定态之间所发生的跃迁是一种一般定律。因此，我们假定，甚至当量子数很小时，定态与定态之间跃迁的可能性关连到系统运动是否含有某个谐波组分。
— 玻尔

按照玻尔模型，电子的角动量${\displaystyle L_{n}}$与能量${\displaystyle E_{n}}$分别为[18]^:166[9]^:59-60

${\displaystyle L_{n}=n\hbar }$、

${\displaystyle E_{n}=-\ {\frac {mk^{2}e^{4}}{2\hbar ^{2}n^{2}}}}$；

其中，${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$是量子数，${\displaystyle \hbar }$是约化普朗克常数，${\displaystyle m}$是电子质量，${\displaystyle k}$是库仑常数，${\displaystyle e}$是单位电荷。

设想电子从能级为${\displaystyle E_{n}}$的初态跃迁至能级为${\displaystyle E_{n-1}}$的末态，则伴随发射出电磁辐射的频率${\displaystyle \nu }$为

${\displaystyle \nu ={\frac {E_{n}-E_{n-1}}{h}}={\frac {mk^{2}e^{4}}{4\pi \hbar ^{3}}}\left[{\frac {1}{(n-1)^{2}}}\ -\ {\frac {1}{n^{2}}}\right]={\frac {mk^{2}e^{4}}{4\pi \hbar ^{3}}}{\frac {2n-1}{n^{2}(n-1)^{2}}}}$。

假设取普朗克极限 ${\displaystyle h\rightarrow 0}$ ，则频率${\displaystyle \nu \rightarrow \infty }$，这是个没有意义的结果，所以，在这里不应该取普朗克极限。

在大量子数极限 ${\displaystyle n\gg 1}$，频率的公式近似为

${\displaystyle \nu ={\frac {mk^{2}e^{4}}{2\pi \hbar ^{3}n^{3}}}}$。

注意到电子的移动速率 ${\displaystyle v}$ 与电子的轨道半径 ${\displaystyle r}$ 分别为[注 1]

${\displaystyle v=\left({\frac {ke^{2}}{mr}}\right)^{1/2}}$、

${\displaystyle r={\frac {n\hbar }{mv}}}$。

将这两个公式带入频率的近似公式，则可得到经典的电子公转频率：

${\displaystyle \nu ={\frac {v}{2\pi r}}}$。

这结果符合对应原理。

红线、蓝线分别是经典概率密度函数 ${\displaystyle P_{c}(x)}$ 与量子概率密度函数${\displaystyle |\psi _{n}(x)|^{2}}$ 。

设想一个质量为的粒子正在进行简谐运动，这粒子的经典概率密度为[9]^:36-38[16]

${\displaystyle P_{c}(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {x_{0}^{2}-x^{2}}}}}}$；

其中，${\displaystyle x}$与${\displaystyle x_{0}}$分别为位移与最大位移。

在量子力学里，假设这个粒子的量子数是${\displaystyle n}$的能量本征态为${\displaystyle \psi _{n}(x)}$。

如右图所示，经典概率密度函数${\displaystyle P_{c}(x)}$与量子概率密度函数${\displaystyle |\psi _{n}(x)|^{2}}$相差很大。然而，在大量子数极限，取局域平均值，则可得到等式：

${\displaystyle P_{c}(x)=\lim _{n\gg 1}\langle |\psi _{n}(x)|^{2}\rangle =\lim _{\epsilon \gg 1}\int _{x-\epsilon }^{x+\epsilon }|\psi _{n}(y)|^{2}\mathrm {d} y}$；

其中，量子数${\displaystyle n}$越大，则区间${\displaystyle \epsilon }$越小。

所以，强度诠释适用于谐振子问题。