完全性 (统计学)

考虑一个随机变量 ${\displaystyle X}$ ，其概率分布 ${\displaystyle P_{\theta }}$ 以 ${\displaystyle \theta }$ 为参数。称一个统计量 ${\displaystyle s}$ 是完全的，若对任意可测函数 ${\displaystyle g}$，[1]

如果对所有 ${\displaystyle \theta }$ 都有 ${\displaystyle E(g(s(X)))=0}$，则 ${\displaystyle P_{\theta }(g(s(X))=0)=1}$ 对所有 ${\displaystyle \theta }$ 都成立。

若对上述函数 ${\displaystyle g}$ 加上有界的条件，则称该统计量为有界完全的。

若${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$是来自参数为${\displaystyle p}$的伯努利分布的独立随机样本，其中${\displaystyle p\in (0,1)}$。统计量${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{b}X_{i}}$是${\displaystyle p}$的完全统计量。注意到${\displaystyle T}$服从参数为${\displaystyle n}$和${\displaystyle p}$的二项分布。若有某个${\displaystyle g}$，使得${\displaystyle E_{p}(g(T))=0}$对${\displaystyle p\in (0,1)}$都成立，则

${\displaystyle 0=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}p^{i}(1-p)^{n-i}g(i)=(1-p)^{n}\sum _{i=0}^{n}g(i){\binom {n}{i}}\left({\frac {p}{1-p}}\right)^{i},p\in (0,1).}$

令${\displaystyle r=p/(1-p)\in \mathbb {R} }$，则多项式${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}g(i){\binom {n}{i}}r^{i}}$在${\displaystyle \mathbb {R} }$上恒为0。可知其每一项系数都为0，进而得到${\displaystyle g=0}$。由定义，${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{b}X_{i}}$是${\displaystyle p}$的完全统计量。

• Basu, D. J. K. Ghosh , 编. . Lecture Notes in Statistics 45. Springer. 1988. ISBN 0-387-96751-6. MR 0953081.
• Bickel, Peter J.; Doksum, Kjell A. Second (updated printing 2007) of the Holden-Day 1976. Pearson Prentice–Hall. 2001. ISBN 0-13-850363-X. MR 0443141.
• E. L., Lehmann; Romano, Joseph P. . Springer Texts in Statistics Third. New York: Springer. 2005: xiv+784 [2017-12-25]. ISBN 0-387-98864-5. MR 2135927. （原始内容存档于2013-02-02）.
• Lehmann, E.L.; Scheffé, H. . Sankhyā: the Indian Journal of Statistics. 1950, 10 (4): 305–340. JSTOR 25048038. MR 0039201.
• Lehmann, E.L.; Scheffé, H. . Sankhyā: the Indian Journal of Statistics. 1955, 15 (3): 219–236. JSTOR 25048243. MR 0072410.