完備群

在數學的群論中，完備群（又稱完全群，不過完全群也可以指另一種群[1]）是指如下的一種群G：G是無中心群，並且G的所有自同構都是內自同構，也就是說G有平凡外自同構群和平凡中心。另一等價定義是將元素 $g\in G$ 映射到自同構 $x\mapsto gxg^{-1}$ 的群同態 $G\to \operatorname {Aut} (G)$ 是群同構。因為此群同態的核是G的中心，而其像是G的所有內自同構；所以G有平凡中心，則此群同態是單射，而所有自同構都是內自同構，則此群同態是滿射。

例子

對稱群 $S_{n}$ 除了n=2,6外，都是完備群。 $S_{2}$ 有非平凡中心，而 $S_{6}$ 有一個外自同構（與內自同構複合之異不別）。

性質

任何完備群都同構於其自同構群。注意其逆命題不成立：有8個元素的二面體群同構於其自同構群，這個群卻不是完備群。

註釋

完全群的兩種意思是因兩岸譯名差異而起，列表如下：

大陸譯名台灣譯名英語

完全群完備群 complete group

完滿群完全群 perfect group

參考

Robinson, Derek John Scott, , Berlin, New York: Springer-Verlag, 1996, ISBN 978-0-387-94461-6
Rotman, Joseph J., , Berlin, New York: Springer-Verlag, 1994, ISBN 978-0-387-94285-8 (chapter 7, in particular theorems 7.15 and 7.17).

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