子串行

在数学中，某个串行的子串行是从最初串行通过去除某些元素但不破坏余下元素的相对位置（在前或在后）而形成的新串行。

正式地说，假设 X 是集合而 (a_k)_{k ∈ K} 是 X 中的串行，其中若 (a_k) 是有限串行，则 K = {1,2,3,...,n}；若 (a_k) 是无限串行，则K = $\mathbb {N}$ 。则 (a_k) 的子串行是形如 $(a_{n_{r}})$ 的串行，这里的 (n_r) 是在索引集合 K 中严格递增串行。

定义

假设有一条数列 $X_{n}=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\cdots )$ 。可以在里面抽出指定的项组成新的子数列， $X_{n}'=(x_{2},x_{4},x_{6},x_{8},\cdots )$ 。

因为 $X_{n}=(x_{n})$ ， $n\in \mathbb {N}$ 是自然数，而且它会随着项数增加而增加，所以它的子数列 $X_{n}'=(x_{n_{k}})$ ， $n_{k}\in \mathbb {N}$ 都会随着项数增加而增加。

注意：子数列的次序必须和主数列的次序一样。

例子

$X_{n}=(1,2,3,4,5,6,7,8\cdots )$ ，只抽出双数项，就会有子数列。 $X_{n}'=(2,4,6,8\cdots )$ 。

性质

有二种定义

定义一

令 $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 为一任意串行及 $n_{1}<n_{2}<n_{3}<\cdots$ 皆为自然数。那么，称串行

a_{n_{1}},a_{n_{2}},a_{n_{3}},\cdots

是 $(a_{n})$ 的一子串行。其符号表示为 $(a_{n_{j}})$ ，其中 $j\in \mathbb {N}$ 是子串行的索引。

定义二

对任意两串行 $(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 及 $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ，称 $(y_{n})$ 是 $(a_{n})$ 的一子串行若且唯若

$(y_{n})$ 是由 $(a_{n})$ 的元素所组成。
存在一严格递增函数 $f:\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ ，使得对所有 $n\in \mathbb {N}$ ， $y_{n}=a_{f(n)}$

例子

令 $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 为一串行

\left({\frac {1}{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\cdots \right)

那么，以下串行

(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left(1,{\frac {1}{4}},{\frac {1}{9}},\cdots \right)

是 $(a_{n})$ 的子串行之一。对应定义里的自然数子串行 $(n_{1},n_{2},n_{3},\cdots )$ 为 $(n^{2})_{n\in \mathbb {N} }$ ，而所对应的映射函数为 $f(n)=n^{2}$ 。

参考文献

（英文）Stephen Abbott, , Springer, 2010, ISBN 978-1441928665

参见

串行
子串行极限
上极限和下极限
Erdős–Szekeres定理

引用

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