多重指标
定义与运算
设为多重指针,定义:
应用最广的是非负的多重指针,此时可以定义:
- (假设)
- 设,定义
- 其中
命题。若是非负的维多重指针,且,则
按定义直接操作即可证明。
应用
多元微积分
多重指针可以将单变元微积分的许多结果直接推广到多变元。以下是几个例子:
多元幂级数:有两个以上变元的幂级数通常写成
其中是-维多元指针而,以简化冗长的表法
多项展开
莱布尼茨公式:设存在够高端的导数,则
其实这不外是定义,多元指针在此提供了简练的表示法。
对于存在够高端导数的函数,我们也有带余项的泰勒展开式:
其中的最后一项(余项)有多种表法,例如柯西的积分表法:
偏微分算子
一个形式上的变元-阶偏微分算子能以多重指针写成
分部积分:对有界定义域上的紧支集光滑函数,我们有
此公式用以定义分布与弱导数。
文献
- Saint Raymond, Xavier (1991). Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators. Chap 1.1 . CRC Press. ISBN 0-8493-7158-9
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