四维速度

从时间膨胀中我们得知

${\displaystyle t=\gamma \tau \,}$

其中${\displaystyle \gamma }$是洛伦兹因子，定义为

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}}$

而${\displaystyle u\,}$是经典速度矢量的欧几里德模：

${\displaystyle u=||\mathbf {u} ||={\sqrt {(u^{1})^{2}+(u^{2})^{2}+(u^{3})^{2}}}}$.

一个四维速度是对应世界线的四维切向矢量，四维速度的世界线${\displaystyle \mathbf {X} (\tau )}$定义为

${\displaystyle \mathbf {U} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {X} }{\mathrm {d} \tau }}}$

其中${\displaystyle \tau \,}$是原時。

由於光速在任意慣性系下保持不變，無法找到光子靜止的慣性系，因此，對於光子而言，${\displaystyle \mathrm {d} \tau =0}$，四維速度不具良好定義。[1]^:49

时间${\displaystyle t\,}$和坐标${\displaystyle x^{0}}$间的关系为

${\displaystyle x^{0}=ct=c\gamma \tau \,}$

${\displaystyle x^{0}}$对固有时${\displaystyle \tau \,}$求导数，可得四维速度${\displaystyle U^{\mu }\,}$在${\displaystyle \mu =0\,}$的分量：

${\displaystyle U^{0}={\frac {\mathrm {d} x^{0}}{\mathrm {d} \tau \;}}=c\gamma }$

至於空間分量方面，即${\displaystyle \mu =i=}$1, 2, 3，根据链式法则求導數，可得固有速度w = Uⁱ：

${\displaystyle U^{i}={\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} \tau }}={\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} x^{0}}}{\frac {\mathrm {d} x^{0}}{\mathrm {d} \tau }}={\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} x^{0}}}c\gamma ={\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} (ct)}}c\gamma ={1 \over c}{\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} t}}c\gamma =\gamma {\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} t}}=\gamma u^{i}}$

這裡我們使用到古典力學中的速度定義：

${\displaystyle \mathbf {u} =u^{i}={dx^{i} \over dt}}$

因此四维速度${\displaystyle U}$與光速c及古典速度u的關係為

${\displaystyle U=\gamma \left(c,\mathbf {u} \right)}$

四维加速度定义为四维速度對原時的微分：

${\displaystyle A^{\mu }={\frac {dU^{\mu }}{d\tau }}}$

因为${\displaystyle U^{\mu }U_{\mu }=-c^{2}\,}$为常數，所以它微分为0：

${\displaystyle 0={\frac {d}{d\tau }}(U^{\mu }U_{\mu })=2U_{\mu }{\frac {dU^{\mu }}{d\tau }}}$

因此得到以下四维速度和加速度的关系：

${\displaystyle U_{\mu }A^{\mu }=0\,}$