四次平面曲线

四次平面曲线()是四的平面代數曲線,可以表示為以下的多變數四次方程:

A, B, C, D, E中至少要有一個不為0。方程式有15個常數,不過方程式若乘以非零的任意數,不會改變曲線,因此可以將其中一個常數固定為1,留下14個可調整的常數。四次曲线的空間可以視為是实射影空间。依照克萊姆定理,若考慮一般位置下14個不同的點,通過這十四個點的四次平面曲线唯一,因此四次平面曲线的自由度為14。

四次曲线最多可以有:

  • 四個相連的部份
  • 28個雙切線
  • 3個一般的二重點

也可以考慮在其他數學(甚至是)中的四次曲线,例如在复数中的四次曲线。此時可以得到黎曼曲面,在C上是一維的物件,但在R上是二維的物件。例如Klein四次曲線,另外也可以探討射影平面下的曲線,由齐次多项式所定義。

舉例

&符號曲線
Bean曲線
Bicuspid曲線
Bow 曲線
Cruciform曲線,紅色的參數(b,a)為(1,1),綠色的參數為(2,2)
Cruciform曲線,紅色的參數(b,a)為(1,1),綠色的參數為(2,1),藍色的參數為(3,1)
Spiric截面
笛卡儿坐标系下的三葉線
极坐标系下的三葉線

上述曲線中,係數的不同組合產生了以下重要的曲線族。

&符號曲線

&符號曲線(ampersand curve)是以下方程對應的四次曲線

亏格為0,有三個一般的雙點,都在實數平面上。[1]

Bean曲線

Bean曲線(bean curve)是以下方程對應的四次曲線

其亏格為0,在原點有一個奇点,是一個一般的三次點[2] [3]

Bicuspid曲線

bicuspid是方程式如下的四次曲線:

其中a決定了曲線的大小。 bicuspid只有二個node為奇異點,因此是虧格為1的曲線。 [4]

Bow曲線

Bow曲線是方程式如下的四次曲線:

x=0, y=0處有單一的三重點,是有理曲線,虧格為0。 [5]

Cruciform曲線

Cruciform曲線是以下方程的四次曲線

其中ab為決定曲線形狀的参数。 Cruciform曲線可以透過一個標準的二次變換x ↦ 1/x, y ↦ 1/y轉變為橢圓a2x2 + b2y2 = 1,因此是虧格為0的有理平面代數曲線。Cruciform曲線在实射影平面中有三個雙重點,是(x=0、y=0),(x=0 、z=0) 以及(y=0、z=0)。 [6]

此曲線是有理曲線,參數化後的結果也是有理函數。例如,令a=1及b=2,可得以下的參數式

其中唯一一個無法參數化的點是會讓參數式分母為零的點。

Spiric截面

Spiric截面可以定義成對x軸及y軸對稱的圓代數四次平面曲线。Spiric截面包括在環面曲線中,其中包括了hippopede卡西尼卵形线。其英文名稱Spiric源自古希臘文的環面σπειρα。

笛卡儿坐标系下的方程式為

極座標系的方程式為

三葉線

三葉線(three-leaved clover)是以下方程的四次平面曲線

在求解y後,曲線可以表示為以下的方程:

其中二個±是彼此獨立的,因此每一個x會對應四個y值。

三葉線的參數式為

[7]

在極坐標(x = r cos φ, y = r sin φ)下的方程如下

這是玫瑰线k = 3的特例。 三葉線在原點處為三重點,有三個二切線。

參考資料

  1. Weisstein, Eric W. (编). . at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语).
  2. Cundy, H. Martyn; Rollett, A. P., 2nd, Clarendon Press, Oxford: 72, 1961 [1952], ISBN 978-0-906212-20-2, MR 0124167
  3. 埃里克·韦斯坦因. . MathWorld.
  4. Weisstein, Eric W. (编). . at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语).
  5. Weisstein, Eric W. (编). . at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语).
  6. Weisstein, Eric W. (编). . at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语).
  7. Gibson, C. G., Elementary Geometry of Algebraic Curves, an Undergraduate Introduction, Cambridge University Press, Cambridge, 2001, ISBN 978-0-521-64641-3. Pages 12 and 78.
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