啁啾

当有一信号 ${\displaystyle x(t)=A\sin(\phi (t))}$，其瞬时角频率为

${\displaystyle \omega (t)={\frac {\mathrm {d} \phi (t)}{\mathrm {d} t}},}$

经适当归一化所得瞬时频率为

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi }}{\frac {\mathrm {d} \phi (t)}{\mathrm {d} t}}.}$

对前两式再求导，得到瞬时角频率的变化速率为瞬时角啁啾度（英语：）

${\displaystyle \gamma (t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}\phi (t)}{\mathrm {d} t^{2}}},}$

类似有瞬时（普通）啁啾度（英语：）为

${\displaystyle c(t)={\frac {1}{2\pi }}\gamma (t)={\frac {1}{2\pi }}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\phi (t)}{\mathrm {d} t^{2}}}.}$[1]

线性啁啾的时频谱，显示频率随时间变化为线性，由0至7 kHz，每2.3秒重复。图中，色彩的鲜艳度表示信号在指定时间和频率所含的能量。

有种啁啾的瞬时频率 ${\displaystyle f(t)}$ 呈线性变化，即有 ${\displaystyle f(t)=f_{0}+ct}$，其中

${\displaystyle c={\frac {f_{1}-f_{0}}{T}}}$

为常值。积分计算出，相位为 ${\displaystyle t}$ 的二次函数：

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi (t)&=\phi _{0}+2\pi \int _{0}^{t}f(\tau )\,\mathrm {d} \tau \\&=\phi _{0}+2\pi \int _{0}^{t}\left(c\tau +f_{0}\right)\,\mathrm {d} \tau \\&=\phi _{0}+2\pi \left({\frac {c}{2}}t^{2}+f_{0}t\right),\end{aligned}}}$

从而信号在时域表示为

${\displaystyle x(t)=A\cos \left(\phi _{0}+2\pi \left({\frac {c}{2}}t^{2}+f_{0}t\right)\right).}$

此种信号又称二次相位信号。[2]

因为是实数输入，所以其快速傅里叶转换会是对称于中心的

FFT 啁啾

在大自然中常常可以遇到啁啾信号，例如鸟叫声、音乐的滑音、动物发声的声音（青蛙、鲸鱼）以及人类语音，通常会使用正弦、余弦的模型去表示之，而这样的模型去做叠加即可仿真出许多大自然的信号。

啁啾信号也常用于天然声纳系统的观察，大多数种类的蝙蝠可以利用啁啾信号，直接控制回声定位系统，这种情况也类似于人类的雷达与声纳系统，为了能够测量长距离又保留时间的分辨率，雷达需要短时间的派冲波但是又要持续的发射信号，啁啾信号可以同时保留连续信号和脉冲的特性，因此被应用在雷达和声纳探测上。

低频率的啁啾信号可用作观察大气层中之电离层的信号。

对于汽车发动、或是气体点火室的频率对时间变化量也会用到啁啾信号，除了音乐以外，在记录震动的仪器中也常常会使用到、观察到啁啾信号。

在生物医学信号里面，例如脑电图（EEG）或是与怀孕有关的子宫肌电图检查（EMG）也会遇到许多与啁啾信号有关的相关信号，进而去分析与探讨受测体的生理情况。

在一些关键现象中，啁啾信号已经被证明与许多奇异行为有关，通过加速震荡的啁啾信号可以分析出地震、金融海啸、投资泡沫等情况的征兆。