十二律

在声学中，声高指物体振动的频率。取一简单物体用来定音高时（如竹管、丝弦），则它的频率与其长度是成反比的关系。如果物体的材质固定，长度愈长，声音愈低。

除此之外，当长度减为一半时，频率将变为原先的两倍；长度增成为原先的两倍时，频率成为原先的一半。将这种互为二倍数的特殊比例，定义为彼此互为「八度音」。由此，便可以从九九八十一的长度出发，试算前述借由「三分损益」求得的长度，所得到的十二律（宫调）：

黄钟（C）：${\displaystyle 81}$ (n = 0)

林钟（G，由黄钟三分损而来）：${\displaystyle {81\times {\frac {2}{3}}}=54}$ (n = 0 + 7 = 7)

太簇（D，由林钟三分益而来）：${\displaystyle {54\times {\frac {4}{3}}}=72}$ (n = 7 - 5 = 2)

南吕（A，由太簇三分损而来）：${\displaystyle {72\times {\frac {2}{3}}}=48}$ (n = 2 + 7 = 9)

姑冼（E，由南吕三分益而来）：${\displaystyle {48\times {\frac {4}{3}}}=64}$ (n = 9 - 5 = 4)

应钟（B，由姑冼三分损而来）：${\displaystyle {64\times {\frac {2}{3}}}=42{\frac {2}{3}}\approx 42.66666666667}$ (n = 4 + 7 = 11)

蕤宾（F#，由应钟三分益而来）：${\displaystyle {42{\frac {2}{3}}\times {\frac {4}{3}}}=56{\frac {8}{9}}\approx 56.88888888889}$ (n = 11 - 5 = 6)

大吕（C#，由蕤宾三分益而来）：${\displaystyle {56{\frac {8}{9}}\times {\frac {4}{3}}}=75{\frac {23}{27}}\approx 75.85185185185}$ (n = 6 - 5 = 1)

夷则（G#/Ab，由大吕三分损而来）：${\displaystyle {75{\frac {23}{27}}\times {\frac {2}{3}}}=50{\frac {46}{81}}\approx 50.56790123457}$ (n = 1 + 7 = 8)

夹钟（D#/Eb，由夷则三分益而来）：${\displaystyle {50{\frac {46}{81}}\times {\frac {4}{3}}}=67{\frac {103}{243}}\approx 67.42386831276}$ (n = 8 - 5 = 3)

无射（A#/Bb，由夹钟三分损而来）：${\displaystyle {67{\frac {103}{243}}\times {\frac {2}{3}}}=44{\frac {692}{729}}\approx 44.9492455418381344307}$ (n = 3 + 7 = 10)

仲吕（F，由无射三分益而来）：${\displaystyle {44{\frac {692}{729}}\times {\frac {4}{3}}}=59{\frac {2039}{2187}}\approx 59.93232738911751257430269776}$ (n = 10 - 5 = 5)

清黄钟（黄钟的高八度音，由仲吕三分损而来）：${\displaystyle {59{\frac {2039}{2187}}\times {\frac {2}{3}}}=39{\frac {6265}{6561}}\approx 39.954884926078341716201798506254}$ (n = 5 + 7 = 12)

• 注意，最后一个「清黄钟」的长度39.9548849，与直接取「黄钟」长度的一半 40.5 仍有一段小小的差距，这就是「黄钟不能还原」的问题。因为在连乘十二次 2/3 或 4/3 后，最后的值不可能达到原始的 1/2。${\displaystyle {\frac {2^{6}\times 4^{6}}{3^{12}}}\approx 0.49327018427257211995310862353488}$
• 另外，若在定律时不断地使用三分损益的操作，最后一定会出现除不尽的小数，使得在实际制作时容易产生误差。然而在现实上，准确度（Accuracy）与精密度（Precision）绝对有其极限，所以经过十二次的三分损益之后，已经可以构成一个（不甚完美）的音阶循环。这也是为何中西音乐理论中，都不约而同地发展出以「12音阶」为主流的原因。之后才会出现如纯律、十二平均律等不同的改进或修正方法。

维基文库中的相关原始文献：梦溪笔谈 卷八 象数二

从上面所计算出来的结果，对照《史记·律书》中的文本，便可发现当中的抄录错误。宋代沈括的《梦溪笔谈》，便记载了《律书》当中出现「七分」之类的文本，当为「十分」的误写。因此原文中的黄钟「八寸七分一」为「八寸十分一、81分」才合理。以下列出古音十二律与史记的文本记载比较，并附上与西方「参考音名」与「十二平均律的误差」计算。

若不照音高排列，而是如上表照三分损益法排列十二律，则会发现其顺序与五度圈自C开始往顺时钟方向的音位排列恰巧一样。