分式环

分式环是局部化的一个简单特例。以下设 ${\displaystyle R}$ 为一个整环，而 ${\displaystyle S:=R-\{0\}}$。

在集合 ${\displaystyle R\times S}$ 上定义下述等价关系 ${\displaystyle \sim }$：

${\displaystyle (r,s)\sim (r',s')\iff rs'-r's=0}$

等价类 ${\displaystyle [r,s]}$ 可以想成「分式」 ${\displaystyle r/s}$，上述等价关系无非是推广有理数的通分；借此模拟，在商集 ${\displaystyle (R\times S)/\sim }$ 上定义加法与乘法为：

${\displaystyle [r,s]+[r',s']=[rs'+r's,ss']}$

${\displaystyle [r,s][r',s']=[rr',ss']}$

可验证上述运算是明确定义的。此外还有环同态 ${\displaystyle R\rightarrow (R\times S)/\sim }$，定义为 ${\displaystyle r\mapsto [r,1]}$；这是一个单射。于是可定义分式环 ${\displaystyle T(R):=(R\times S)/\sim }$，再配上上述的加法与乘法运算。在实践上，我们常迳将 ${\displaystyle T(R)}$ 里的元素写作分式 ${\displaystyle r/s}$。

整环 ${\displaystyle R}$ 的分式环 ${\displaystyle K(R)}$ 及其自然环同态 ${\displaystyle R\rightarrow K(R)}$ 满足以下的泛性质：

对任何环 ${\displaystyle T}$ 及环同态 ${\displaystyle \phi :R\rightarrow T}$，若 ${\displaystyle R-\{0\}}$ 中的元素在 ${\displaystyle \phi }$ 下的像皆可逆，则存在唯一的环同态 ${\displaystyle \psi :K(R)\rightarrow T}$，使得 ${\displaystyle \phi }$ 是 ${\displaystyle R\rightarrow K(R)}$ 与 ${\displaystyle \psi }$ 的合成。

此性质不外是形式地表达了「K(R) 是包含 R 的最小的域」这个陈述。据此泛性质可形式地证明：任何一组数据 ${\displaystyle (K,\phi :R\rightarrow T)}$ 若使得 ${\displaystyle K-\{0\}}$ 中的元素在 ${\displaystyle \phi }$ 下的像皆可逆，且满足上述泛性质，则 ${\displaystyle K}$ 必与 ${\displaystyle T(R)}$ 同构。

• 有理数域 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 是整数环 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 的分式环。
• 有理函数域是多项式环的分式环
• 代数数域是代数整数环的分式环。
• 在一个连通复流形上，亚纯函数域是全纯函数环的分式环。

对于一般的交换环 ${\displaystyle R}$（容许有零因子），分式环是一种退而求其次的建构：我们想找使 ${\displaystyle R\rightarrow S^{-1}R}$ 为单射的「最大」局部化，详述如下：

设 ${\displaystyle S}$ 为 ${\displaystyle R}$ 中的非零因子所成子集，它是个积性子集，因此可对之作局部化。令 ${\displaystyle T(R):=S^{-1}R}$，此时 ${\displaystyle T(R)}$ 常被称作 ${\displaystyle R}$ 的全分式环。