克劳修斯-莫索提方程式

一個分子的極化性${\displaystyle \alpha }$定義為[3]

${\displaystyle \mathbf {p} \ {\stackrel {def}{=}}\ \alpha \mathbf {E} }$；

其中，${\displaystyle \mathbf {p} }$是分子的感應電偶極矩，${\displaystyle \mathbf {E} }$是作用於分子的電場。

介電質的電極化強度定義為總電偶極矩每單位面積：

${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} )\ {\stackrel {def}{=}}\ \sum _{j}N_{j}(\mathbf {r} )\mathbf {p} _{j}(\mathbf {r} )}$；

其中，${\displaystyle \mathbf {P} }$是電極化強度，${\displaystyle \mathbf {r} }$是檢驗位置，${\displaystyle N_{j}}$、${\displaystyle \mathbf {p} _{j}}$分別是分子${\displaystyle j}$ 的數量每單位面積與電偶極矩。

總合介電質內每一種分子的貢獻，就可以計算出介電質的電極化強度。將極化性的定義式代入，可以得到

${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} )=\sum _{j}N_{j}(\mathbf {r} )\alpha _{j}\mathbf {E} (\mathbf {r} )}$。

當計算這方程式時，必需先知道在分子位置的電場，稱為「局域電場」${\displaystyle \mathbf {E} _{local}}$。介電質內部的微觀電場，從一個位置到另外位置，其變化可能會相當劇烈，在電子或質子附近，電場很大，距離稍微遠一點，電場呈平方反比減弱。所以，很難計算這麼複雜的電場的物理行為。幸運地是，對於大多數計算，並不需要這麼詳細的描述。所以，只要選擇一個足夠大的區域（例如，體積為${\displaystyle V'}$、內中含有上千個分子的圓球體${\displaystyle \mathbb {V} '}$）來計算微觀電場${\displaystyle \mathbf {E} _{micro}}$的平均值，稱為「巨觀電場」${\displaystyle \mathbf {E} _{macro}}$，就可以足夠準確地計算出巨觀物理行為：

${\displaystyle \mathbf {E} _{macro}={\frac {1}{V'}}\int _{\mathbb {V} '}\mathbf {E} _{micro}\ \mathrm {d} ^{3}r'}$。

對於稀薄介電質，分子與分子之間的距離相隔很遠，鄰近分子的貢獻很小，局域電場可以近似為巨觀電場　${\displaystyle \mathbf {E} _{macro}}$：

${\displaystyle \mathbf {E} _{local}\approx \mathbf {E} _{macro}}$。

但對於緻密介電質，分子與分子之間的距離相隔很近，鄰近分子的貢獻很大，必需將鄰近分子的貢獻${\displaystyle \mathbf {E} _{1}}$納入考量：

${\displaystyle \mathbf {E} _{local}=\mathbf {E} _{macro}+\mathbf {E} _{1}}$。

因為巨觀電場已經包括了電極化所產生的電場（稱為「去極化場」）${\displaystyle \mathbf {E} _{p}}$，為了不重覆計算，在計算${\displaystyle \mathbf {E} _{1}}$時，必需將鄰近分子的真實貢獻${\displaystyle \mathbf {E} _{near}}$減掉去極化場：

${\displaystyle \mathbf {E} _{1}=\mathbf {E} _{near}-\mathbf {E} _{p}}$。

舉一個簡單案例，根據洛倫茲關係（），對於立方晶系結構的晶體或各向同性的介電質，由於高度的對稱性， ${\displaystyle \mathbf {E} _{near}=0}$。

現在思考以分子位置${\displaystyle \mathbf {r} }$為圓心、體積為${\displaystyle V'}$的圓球體${\displaystyle \mathbb {V} '}$，感受到外電場的作用，${\displaystyle \mathbb {V} '}$內部的束縛電荷會被電極化，從而產生電極化強度${\displaystyle \mathbf {P} }$。假設在${\displaystyle \mathbb {V} '}$內部的電極化強度${\displaystyle \mathbf {P} }$相當均勻，則電極化強度${\displaystyle \mathbf {P} }$與${\displaystyle \mathbb {V} '}$的電偶極矩之間的關係為

${\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {P} V'}$。

這線性均勻介電質圓球體內部的電場為[4]

${\displaystyle \mathbf {E} _{p}=-{\frac {\mathbf {P} }{3\epsilon _{0}}}}$。

綜合前面得到的結果：

${\displaystyle \mathbf {P} =\sum _{j}N_{j}\alpha _{j}(\mathbf {E} _{macro}-\mathbf {E} _{p})=\sum _{j}N_{j}\alpha _{j}(\mathbf {E} _{macro}+{\frac {\mathbf {P} }{3\epsilon _{0}}})}$。

對於各向同性、線性、均勻的介電質，電極化率${\displaystyle \chi _{e}}$定義為

${\displaystyle \mathbf {P} \ {\stackrel {def}{=}}\ \epsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E} _{macro}}$。

電極化率與極化性的關係為

${\displaystyle {\frac {\chi _{e}}{\chi _{e}+3}}={\frac {1}{3\epsilon _{0}}}\sum _{j}N_{j}\alpha _{j}}$。

由於相對電容率${\displaystyle \epsilon _{r}}$與電極化率的關係為

${\displaystyle \epsilon _{r}=1+\chi _{e}}$。

所以，電容率與極化性的關係為

${\displaystyle {\frac {\epsilon _{r}-1}{\epsilon _{r}+2}}={\frac {1}{3\epsilon _{0}}}\sum _{j}N_{j}\alpha _{j}}$。

這方程式就是克劳修斯-莫索提方程式。

電介質的折射率${\displaystyle n}$為

${\displaystyle n={\sqrt {\epsilon _{r}\mu _{r}}}\approx {\sqrt {\epsilon _{r}}}}$；

其中，${\displaystyle \mu _{r}}$是相對磁導率。

對於大多數介電質，${\displaystyle \mu _{r}=1}$，所以，折射率近似為${\displaystyle n\approx {\sqrt {\epsilon _{r}}}}$ 。將折射率帶入克劳修斯-莫索提方程式，就可以給出洛倫茲-洛倫茨方程式[5]：

${\displaystyle {\frac {n^{2}-1}{n^{2}+2}}={\frac {1}{3\epsilon _{0}}}\sum _{j}N_{j}\alpha _{j}}$。