克劳修斯-莫索提方程序

一个分子的极化性${\displaystyle \alpha }$定义为[3]

${\displaystyle \mathbf {p} \ {\stackrel {def}{=}}\ \alpha \mathbf {E} }$；

其中，${\displaystyle \mathbf {p} }$是分子的感应电偶极矩，${\displaystyle \mathbf {E} }$是作用于分子的电场。

介电质的电极化强度定义为总电偶极矩每单位面积：

${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} )\ {\stackrel {def}{=}}\ \sum _{j}N_{j}(\mathbf {r} )\mathbf {p} _{j}(\mathbf {r} )}$；

其中，${\displaystyle \mathbf {P} }$是电极化强度，${\displaystyle \mathbf {r} }$是检验位置，${\displaystyle N_{j}}$、${\displaystyle \mathbf {p} _{j}}$分别是分子${\displaystyle j}$ 的数量每单位面积与电偶极矩。

总合介电质内每一种分子的贡献，就可以计算出介电质的电极化强度。将极化性的定义式代入，可以得到

${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} )=\sum _{j}N_{j}(\mathbf {r} )\alpha _{j}\mathbf {E} (\mathbf {r} )}$。

当计算这方程序时，必需先知道在分子位置的电场，称为「局域电场」${\displaystyle \mathbf {E} _{local}}$。介电质内部的微观电场，从一个位置到另外位置，其变化可能会相当剧烈，在电子或质子附近，电场很大，距离稍微远一点，电场呈平方反比减弱。所以，很难计算这么复杂的电场的物理行为。幸运地是，对于大多数计算，并不需要这么详细的描述。所以，只要选择一个足够大的区域（例如，体积为${\displaystyle V'}$、内中含有上千个分子的圆球体${\displaystyle \mathbb {V} '}$）来计算微观电场${\displaystyle \mathbf {E} _{micro}}$的平均值，称为「巨观电场」${\displaystyle \mathbf {E} _{macro}}$，就可以足够准确地计算出巨观物理行为：

${\displaystyle \mathbf {E} _{macro}={\frac {1}{V'}}\int _{\mathbb {V} '}\mathbf {E} _{micro}\ \mathrm {d} ^{3}r'}$。

对于稀薄介电质，分子与分子之间的距离相隔很远，邻近分子的贡献很小，局域电场可以近似为巨观电场　${\displaystyle \mathbf {E} _{macro}}$：

${\displaystyle \mathbf {E} _{local}\approx \mathbf {E} _{macro}}$。

但对于致密介电质，分子与分子之间的距离相隔很近，邻近分子的贡献很大，必需将邻近分子的贡献${\displaystyle \mathbf {E} _{1}}$纳入考量：

${\displaystyle \mathbf {E} _{local}=\mathbf {E} _{macro}+\mathbf {E} _{1}}$。

因为巨观电场已经包括了电极化所产生的电场（称为「去极化场」）${\displaystyle \mathbf {E} _{p}}$，为了不重复计算，在计算${\displaystyle \mathbf {E} _{1}}$时，必需将邻近分子的真实贡献${\displaystyle \mathbf {E} _{near}}$减掉去极化场：

${\displaystyle \mathbf {E} _{1}=\mathbf {E} _{near}-\mathbf {E} _{p}}$。

举一个简单案例，根据洛伦兹关系（），对于立方晶系结构的晶体或各向同性的介电质，由于高度的对称性， ${\displaystyle \mathbf {E} _{near}=0}$。

现在思考以分子位置${\displaystyle \mathbf {r} }$为圆心、体积为${\displaystyle V'}$的圆球体${\displaystyle \mathbb {V} '}$，感受到外电场的作用，${\displaystyle \mathbb {V} '}$内部的束缚电荷会被电极化，从而产生电极化强度${\displaystyle \mathbf {P} }$。假设在${\displaystyle \mathbb {V} '}$内部的电极化强度${\displaystyle \mathbf {P} }$相当均匀，则电极化强度${\displaystyle \mathbf {P} }$与${\displaystyle \mathbb {V} '}$的电偶极矩之间的关系为

${\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {P} V'}$。

这线性均匀介电质圆球体内部的电场为[4]

${\displaystyle \mathbf {E} _{p}=-{\frac {\mathbf {P} }{3\epsilon _{0}}}}$。

综合前面得到的结果：

${\displaystyle \mathbf {P} =\sum _{j}N_{j}\alpha _{j}(\mathbf {E} _{macro}-\mathbf {E} _{p})=\sum _{j}N_{j}\alpha _{j}(\mathbf {E} _{macro}+{\frac {\mathbf {P} }{3\epsilon _{0}}})}$。

对于各向同性、线性、均匀的介电质，电极化率${\displaystyle \chi _{e}}$定义为

${\displaystyle \mathbf {P} \ {\stackrel {def}{=}}\ \epsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E} _{macro}}$。

电极化率与极化性的关系为

${\displaystyle {\frac {\chi _{e}}{\chi _{e}+3}}={\frac {1}{3\epsilon _{0}}}\sum _{j}N_{j}\alpha _{j}}$。

由于相对电容率${\displaystyle \epsilon _{r}}$与电极化率的关系为

${\displaystyle \epsilon _{r}=1+\chi _{e}}$。

所以，电容率与极化性的关系为

${\displaystyle {\frac {\epsilon _{r}-1}{\epsilon _{r}+2}}={\frac {1}{3\epsilon _{0}}}\sum _{j}N_{j}\alpha _{j}}$。

这方程序就是克劳修斯-莫索提方程序。

电介质的折射率${\displaystyle n}$为

${\displaystyle n={\sqrt {\epsilon _{r}\mu _{r}}}\approx {\sqrt {\epsilon _{r}}}}$；

其中，${\displaystyle \mu _{r}}$是相对磁导率。

对于大多数介电质，${\displaystyle \mu _{r}=1}$，所以，折射率近似为${\displaystyle n\approx {\sqrt {\epsilon _{r}}}}$ 。将折射率带入克劳修斯-莫索提方程序，就可以给出洛伦兹-洛伦茨方程序[5]：

${\displaystyle {\frac {n^{2}-1}{n^{2}+2}}={\frac {1}{3\epsilon _{0}}}\sum _{j}N_{j}\alpha _{j}}$。