伽利略变换

伽利略變換示意圖

伽利略變換建基於人們加減物體速度的直覺。在其核心，伽利略變換假設時間和空間是絕對的。

這項假設在洛伦兹变换中被捨棄，因此就算在相對論性速度下，洛伦兹变换也是成立的；而伽利略變換則是洛伦兹变换的低速近似值。

以下為伽利略變換的數學表達式，其中${\displaystyle (x,y,z,t)}$和${\displaystyle (x',y',z',t')}$分別為同一個事件在兩個坐標系${\displaystyle S}$和${\displaystyle S'}$中的坐標。兩個坐標系以相對匀速運行（速度為${\displaystyle v}$），運行方向為${\displaystyle x}$和${\displaystyle x'}$，原點在時間${\displaystyle t=t'=0}$時重合。 [4] [5] [6] [7]

${\displaystyle x'=x-vt\,}$

${\displaystyle y'=y\,}$

${\displaystyle z'=z\,}$

${\displaystyle t'=t\,}$

最後一條方程式意味著時間是不受觀測者的相對運動影響的。

利用線性代數的術語來說，這種變換是個錯切，是矩陣對向量進行變換的一個過程。當參考系只沿著x軸移動時，伽利略變換只作用於兩個分量：

${\displaystyle (x',t')=(x,t){\begin{pmatrix}1&0\\-v&1\end{pmatrix}}.}$

雖然在伽利略變換中沒有必要用到矩陣表達法，但是用了矩陣就可以和狹義相對論中的變換法進行比較。

沿著一個加速中觀測者的世界線所看到的時空。

縱軸為時間，橫軸為距離，虛線為觀測者在時空中的軌跡。圖的下半部是已經發生了的事件，上半部則是未來的事件。圖中小點為時空中的事件。

世界線的斜率為觀測者的相對速率。注意觀測者在加速時所看到的時空會進行錯切。

伽利略變換可以唯一寫成由時空的旋轉、平移和匀速運動複合而成的函數。[8]設x為三維空間中的一點，t為一維時間中的一點。時空當中的任何一點可以表達為有序對(x,t)。速度為v的匀速運動表達為${\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\mapsto (\mathbf {x} +t\mathbf {v} ,t)}$，其中v在R³內。平移表達為${\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\mapsto (\mathbf {x} +\mathbf {a} ,t+b)}$，其中a在R³內，b在R內。旋轉表達為${\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\mapsto (G\mathbf {x} ,t)}$，其中G : R³ → R³為某正交變換。[8]作為一個李群，伽利略變換的維度為10。[8]

這裡我們只考慮伽利略群的李代數。結果能夠輕易延伸到李群。L的李代數由H、P_i、C_i和L_ij張成（反對稱張量），並能夠受交換子的作用，其中

${\displaystyle [H,P_{i}]=0\,\!}$

${\displaystyle [P_{i},P_{j}]=0\,\!}$

${\displaystyle [L_{ij},H]=0\,\!}$

${\displaystyle [C_{i},C_{j}]=0\,\!}$

${\displaystyle [L_{ij},L_{kl}]=i[\delta _{ik}L_{jl}-\delta _{il}L_{jk}-\delta _{jk}L_{il}+\delta _{jl}L_{ik}]\,\!}$

${\displaystyle [L_{ij},P_{k}]=i[\delta _{ik}P_{j}-\delta _{jk}P_{i}]\,\!}$

${\displaystyle [L_{ij},C_{k}]=i[\delta _{ik}C_{j}-\delta _{jk}C_{i}]\,\!}$

${\displaystyle [C_{i},H]=iP_{i}\,\!}$

${\displaystyle [C_{i},P_{j}]=0\,\!.}$

H為時間平移的生成元（哈密顿算符），P_i為平移的生成元（動量算符），C_i為伽利略變換的生成元，而L_ij為旋轉的生成元（角動量算符）。

現在我們可以對H'、P'_i、C'_i、L'_ij（反對稱張量）、M所張成的李群進行中心擴張，使得M與一切都可交換（位於中心，「中心擴張」因此得名）：

${\displaystyle [H',P'_{i}]=0\,\!}$

${\displaystyle [P'_{i},P'_{j}]=0\,\!}$

${\displaystyle [L'_{ij},H']=0\,\!}$

${\displaystyle [C'_{i},C'_{j}]=0\,\!}$

${\displaystyle [L'_{ij},L'_{kl}]=i[\delta _{ik}L'_{jl}-\delta _{il}L'_{jk}-\delta _{jk}L'_{il}+\delta _{jl}L'_{ik}]\,\!}$

${\displaystyle [L'_{ij},P'_{k}]=i[\delta _{ik}P'_{j}-\delta _{jk}P'_{i}]\,\!}$

${\displaystyle [L'_{ij},C'_{k}]=i[\delta _{ik}C'_{j}-\delta _{jk}C'_{i}]\,\!}$

${\displaystyle [C'_{i},H']=iP'_{i}\,\!}$

${\displaystyle [C'_{i},P'_{j}]=iM\delta _{ij}\,\!}$

• 洛伦兹群
• 龐加萊群