P进赋值

在数论上，一个整数 $n$ 的 $p$ 进赋值指的是能除尽 $n$ 的质数 $p$ 的最高次方，一般记做 $\nu _{p}(n)$ 。一个等价的定义是， $\nu _{p}(n)$ 是 $n$ 的质因数分解中 $p$ 的次方数。

$p$ 进赋值是一个赋值，且其赋值可作为常规绝对值的模拟。就如常规绝对值是有理数在实数 $\mathbb {R}$ 中的完备化一般， $p$ 进绝对值是有理数在P进数 $\mathbb {Q} _{p}$ .[1]

自然数在2进赋值中的分布，并加上十进位中的2的次方做标签；0的赋值为无限。

定义与性质

以下假定 $p$ 为质数。

整数

整数 $n$ 的 $p$ 进赋值定义如下：

\nu _{p}(n)={\begin{cases}\mathrm {max} \{k\in \mathbb {N} :p^{k}\mid n\}&{\text{if }}n\neq 0\\\infty &{\text{if }}n=0,\end{cases}}

其中 $\mathbb {N}$ 是自然数的集合，而 $m\mid n$ 代表 $n$ 可被 $m$ 整除。特别地， $\nu _{p}$ 的定义域及值域如次： $\nu _{p}\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {N} \cup \{\infty \}$ .[2]

像例如说， $\nu _{2}(-12)=2$ , $\nu _{3}(-12)=1$ ，而 $\nu _{5}(-12)=0$ since $|{-12}|=12=2^{2}\cdot 3^{1}\cdot 5^{0}$ 。

$p^{k}\parallel n$ 这符号有时用以表示 $k=\nu _{p}(n)$ 。[3]

若 $n$ 是一个正整数，那么有

\nu _{p}(n)\leq \log _{p}n

而这可由 $n\geq p^{\nu _{p}(n)}$ 直接推得。

有理数

$p$ 进赋值可以下述函数的形式延伸到有理数上：

\nu _{p}:\mathbb {Q} \to \mathbb {Z} \cup \{\infty \}

[4][5]

其定义如下：

\nu _{p}\left({\frac {r}{s}}\right)=\nu _{p}(r)-\nu _{p}(s)

像例如说， $\nu _{2}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=-3$ 且 $\nu _{3}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=2$ ，而这是因为 ${\tfrac {9}{8}}=2^{-3}\cdot 3^{2}$ 之故。

有理数上的赋值其中一些性质如下：

\nu _{p}(r\cdot s)=\nu _{p}(r)+\nu _{p}(s)

\nu _{p}(r+s)\geq \min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}

此外，若 $\nu _{p}(r)\neq \nu _{p}(s)$ ，那么

\nu _{p}(r+s)=\min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}

其中 $\min$ 是最小值（也就是两者中较小者）。

$p$ 进绝对值

有理数集 $\mathbb {Q}$ 的 $p$ 进绝对值定义如下：

|\cdot |_{p}\colon \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}

而其定义为

|r|_{p}=p^{-\nu _{p}(r)}.

因此对所有的 $p$ 而言， $|0|_{p}=p^{-\infty }=0$ ；而一个 $p$ 进绝对值的例子如次： $|{-12}|_{2}=2^{-2}={\tfrac {1}{4}}$ and ${\bigl |}{\tfrac {9}{8}}{\bigr |}_{2}=2^{-(-3)}=8$

$p$ 进绝对值满足下列性质：

非负性	$\|r\|_{p}\geq 0$
正定性	$\|r\|_{p}=0\iff r=0$
积性	$\|rs\|_{p}=\|r\|_{p}\|s\|_{p}$
非阿基米德性	$\|r+s\|_{p}\leq \max \left(\|r\|_{p},\|s\|_{p}\right)$

由积性 $|rs|_{p}=|r|_{p}|s|_{p}$ 可知，对于单位根 $1$ 和 $-1$ 而言， $|1|_{p}=1=|-1|_{p}$ ，因此这表示说 $|{-r}|_{p}=|r|_{p}$ ；而次可加性 $|r+s|_{p}\leq |r|_{p}+|s|_{p}$ 可由非阿基米德三角不等式 $|r+s|_{p}\leq \max \left(|r|_{p},|s|_{p}\right)$ 得出。

对 $p^{-\nu _{p}(r)}$ 这个幂的基底 $p$ 的选取不会影响其性质；然而有以下的性质：

\prod _{0,p}|r|_{p}=1

其中此乘积遍历所有的质数 $p$ 及常规绝对值，而此处常规绝对值记做 $|r|_{0}$ 。

这项可由质因数分解得出：质因数的幂 $p^{k}$ 会成为相对应的 $p$ 进绝对值的倒数；而将之乘以常规绝对值后，这些倒数项会被消去。

一些人可能会将 $p$ 进绝对值给称为「 $p$ 进范数」；然而因其不满足齐次性之故，因此并非真正的范数。

一个度量空间可用如下（非阿基米德且平移对称的）度量由 $\mathbb {Q}$ 生成：

d\colon \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}

其定义为

d(r,s)=|r-s|_{p}.

以此度量对有理数 $\mathbb {Q}$ 所做的完备化即 $p$ 进数的集合 $\mathbb {Q} _{p}$ 。

参见

参考数据

中的完备化。Dummit, David S.; Foote, Richard M. 3rd. Wiley. 2003: 758–759. ISBN 0-471-43334-9.
Ireland, K.; Rosen, M. . New York: Springer-Verlag. 2000: 3.
Niven, Ivan; Zuckerman, Herbert S.; Montgomery, Hugh L. 5th. John Wiley & Sons. 1991: 4. ISBN 0-471-62546-9.
再延伸的数在线，这带有一般的序关系，也就是说
$\infty >n$ ,
及算术关系
$\infty +n=n+\infty =\infty$
Khrennikov, A.; Nilsson, M. . Kluwer Academic Publishers. 2004: 9.

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[1] 中的完备化。Dummit, David S.; Foote, Richard M. 3rd. Wiley. 2003: 758–759. ISBN 0-471-43334-9.

[2] Ireland, K.; Rosen, M. . New York: Springer-Verlag. 2000: 3.

[3] Niven, Ivan; Zuckerman, Herbert S.; Montgomery, Hugh L. 5th. John Wiley & Sons. 1991: 4. ISBN 0-471-62546-9.

[infty-4] 再延伸的数在线，这带有一般的序关系，也就是说
$\infty >n$ ,
及算术关系
$\infty +n=n+\infty =\infty$

[5] Khrennikov, A.; Nilsson, M. . Kluwer Academic Publishers. 2004: 9.

P进赋值

定义与性质

整数

有理数

p进绝对值

参见

参考数据

$p$ 进绝对值