黃金菱形

黃金菱形的內角為[6]：

• 銳角：${\displaystyle \alpha =2\arctan {1 \over \varphi }}$ ;

${\displaystyle \alpha =\arctan {{2 \over \varphi } \over {1-({1 \over \varphi })^{2}}}=\arctan {{2 \over \varphi } \over {1 \over \varphi }}=\arctan 2\approx 63.43495^{\circ }.}$

• 鈍角：${\displaystyle \beta =2\arctan \varphi =\pi -\arctan 2\approx 116.56505^{\circ },}$

這個角度值與正十二面體相同[7]

由於菱形也是一種平行四邊形[8]，因此黃金菱形的邊長與對角線長可以用平行四邊形恆等式得出[9]：

黃金菱形的邊長${\displaystyle a}$與對角線長${\displaystyle d}$具有以下關係：

• ${\displaystyle a={1 \over 2}{\sqrt {d^{2}+(\varphi d)^{2}}}={1 \over 2}{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}~d={{\sqrt {2+\varphi }} \over 2}~d={1 \over 4}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}~d\approx 0.95106~d~.~}$

因此，可以用${\displaystyle a}$來表示長對角線${\displaystyle D}$與短對角線${\displaystyle d}$：[6]

• ${\displaystyle d={2a \over {\sqrt {2+\varphi }}}=2{\sqrt {{3-\varphi } \over 5}}~a={\sqrt {2-{2 \over {\sqrt {5}}}}}~a\approx 1.05146~a~.}$
• ${\displaystyle D={2\varphi a \over {\sqrt {2+\varphi }}}=2{\sqrt {{2+\varphi } \over 5}}~a={\sqrt {2+{2 \over {\sqrt {5}}}}}~a\approx 1.70130~a~.}$

已知短對角線長${\displaystyle d}$時，黃金菱形的的面積為[10]：

${\displaystyle A={{(\varphi d)\cdot d} \over 2}={{\varphi } \over 2}~d^{2}={{1+{\sqrt {5}}} \over 4}~d^{2}\approx 0.80902~d^{2}~.}$

已知邊長為${\displaystyle a}$時，黃金菱形的的面積為[6][10]：

${\displaystyle A=(\sin(\arctan 2))~a^{2}={2 \over {\sqrt {5}}}~a^{2}\approx 0.89443~a^{2}~.}$