双积

令 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 为预加法范畴，因而任两个对象 ${\displaystyle A,B}$ 间的态射集 ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)}$ 是交换群。给定有限个对象 ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$，假设有：

• 对象 ${\displaystyle A}$，通常表作 ${\displaystyle A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{n}}$。
• 态射 ${\displaystyle p_{k}:A\to A_{k}}$（称为射影）
• 态射 ${\displaystyle i_{k}:A_{k}\to A}$（称为内射）

并假设：

• ${\displaystyle i_{1}\circ p_{1}+\ldots i_{n}\circ p_{n}=\mathrm {id} _{A}}$
• ${\displaystyle p_{k}\circ i_{k}=\mathrm {id} _{A_{k}}}$
• ${\displaystyle k\neq l\Rightarrow p_{k}\circ i_{l}=0}$

则称 ${\displaystyle A}$ 是 ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$ 的双积。

注意到若在定义中取 ${\displaystyle n=0}$，则「空双积」是一个对象 ${\displaystyle 0}$，使得恒等映射是零映射。

• 交换群范畴中存在双积，此时的双积即直和。
• 一个域或除环上的矢量空间也有双积，即矢量空间的直和。

• 如果空双积存在，并且所有二元双积 ${\displaystyle A_{1}\oplus A_{2}}$ 存在，则所有双积皆存在。
• 预加法范畴中的双积同时是范畴意义下的积与上积，这是双积一词的由来。由此可导得空双积是零对象。
• 反之，预加法范畴中的积或上积也带有自然的双积结构。