双极坐标系

双极坐标的几何诠释。 ${\displaystyle {\overline {F_{1}P}}\,\!}$ 与 ${\displaystyle {\overline {F_{2}P}}\,\!}$ 的夹角 ${\displaystyle \angle F_{1}PF_{2}\,\!}$ 的弧度是 ${\displaystyle \sigma \,\!}$ 。${\displaystyle F_{1}P\,\!}$ 与 ${\displaystyle F_{2}P\,\!}$ 的比例的自然对数是 ${\displaystyle \tau \,\!}$ 。${\displaystyle \sigma \,\!}$ 与 ${\displaystyle \tau \,\!}$ 的等值曲线都是圆圈，分别以红色与蓝色表示。两条等值曲线以直角相交（以洋红色表示）。

在二维空间里，一个点 P 的双极坐标 ${\displaystyle (\sigma ,\ \tau )\,\!}$ 通常定义为

${\displaystyle x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\,\!}$，

${\displaystyle y=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\,\!}$；

其中，点 ${\displaystyle P\,\!}$ 的 ${\displaystyle \sigma \,\!}$ 坐标等于 ${\displaystyle \angle F_{1}PF_{2}\,\!}$ 的弧度，${\displaystyle \tau \,\!}$ 坐标等于 ${\displaystyle d_{1}=F_{1}P\,\!}$ 与 ${\displaystyle d_{2}=F_{2}P\,\!}$ 的比例的自然对数

${\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}\,\!}$。

（回想 ${\displaystyle F_{1}\,\!}$ 与 ${\displaystyle F_{2}\,\!}$ 的坐标分别为 ${\displaystyle (-a,\ 0)\,\!}$ 与 ${\displaystyle (a,\ 0)\,\!}$ ）。

不同 ${\displaystyle \sigma \,\!}$ 的等值曲线是一组不同圆心，而相交于两个焦点 ${\displaystyle F_{1}\,\!}$ 与 ${\displaystyle F_{2}\,\!}$ 的圆圈：

${\displaystyle x^{2}+(y-a\cot \sigma )^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}\,\!}$

它们的圆心都包含于 y-轴。正值 ${\displaystyle \sigma \,\!}$ 的圆圈的圆心都在 x-轴以上；而负值 ${\displaystyle \sigma \,\!}$ 的圆圈的圆心则在 x-轴以下。当绝对值 ${\displaystyle \left|\sigma \right|\,\!}$ 增加时，圆半径会减小，圆心会靠近原点。当圆心与原点同点时，${\displaystyle \left|\sigma \right|\,\!}$ 达到最大值 ${\displaystyle \pi /2\,\!}$ 。

不同 ${\displaystyle \tau \,\!}$ 的等值曲线是一组围着焦点，互不相交，不同半径的圆圈。半径为

${\displaystyle y^{2}+\left(x-a\coth \tau \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}\,\!}$ 。

它们的圆心都包含于 x-轴。正值 ${\displaystyle \tau \,\!}$ 的圆圈在 ${\displaystyle x>0\,\!}$ 半平面；而负值 ${\displaystyle \tau \,\!}$ 的圆圈在 ${\displaystyle x<0\,\!}$ 半平面。${\displaystyle \tau =0\,\!}$ 曲线则与 y-轴同轴。当 ${\displaystyle \tau \,\!}$ 值增加时，圆圈的半径会减少，圆心会靠近焦点。

双极坐标 ${\displaystyle (\sigma ,\ \tau )\,\!}$ 的标度因子相等：

${\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}\,\!}$ 。

所以，无穷小面积元素等于

${\displaystyle dA={\frac {a^{2}}{(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}}\ d\sigma d\tau \,\!}$ 。

拉普拉斯算子是

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi =\left({\frac {\cosh \tau -\cos \sigma }{a}}\right)^{2}({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}})\,\!}$ 。

其它微分算子，例如 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} \,\!}$ 与 ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} \,\!}$ ，都可以用双极坐标表达，只需要将标度因子代入正交坐标系的一般方程序内。

双极坐标有一个经典的应用是在解析像拉普拉斯方程或亥姆霍兹方程这类的偏微分方程序。在这些方程序里，双极坐标允许分离变量法的使用。一个典型的例题是，「有两个互相平行的圆柱导体，请问其周围的电场为什么？」 应用双极坐标，我们可以精致地分析这例题。

• 拉普拉斯-龙格-冷次矢量

• H. Bateman "Spheroidal and bipolar coordinates", Duke Mathematical Journal 4 (1938), no. 1, 39–50。
• Lockwood, E. H. "Bipolar Coordinates." Chapter 25 in A Book of Curves. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 186-190, 1967。
• Korn GA and Korn TM, (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill。

1. Weisstein, Eric W. (编). . at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2008-04-21]. （原始内容存档于2021-05-20） （英语）.