双极坐标系
二维双极坐标系(英语:)是一个正交坐标系。学术界上有三种常用的双极坐标系[1]。除了在这里讨论的坐标系以外,另外两种是非正交的双心坐标系与双角坐标系。

双极坐标系绘图。图中的红色圆圈是 -等值曲线,蓝色圆圈则是 -等值曲线。
这里所要讨论的双极坐标系创建于阿波罗尼奥斯圆。 的等值曲线是圆圈。 的等值曲线也是圆圈。两组圆圈互相垂直相交。双极坐标系有两个焦点 与 ,其直角坐标 通常分别设置为 与 。所以,这两个焦点都处于直角坐标系的 x-轴。
双极坐标系是好几种三维正交坐标系的原始模。往 z-轴方向延伸,则可得到双极圆柱坐标系。绕着 x-轴旋转,即可得到双球坐标系。绕着 y-轴旋转,就可得到圆环坐标系。
等值曲线
不同 的等值曲线是一组不同圆心,而相交于两个焦点 与 的圆圈:
它们的圆心都包含于 y-轴。正值 的圆圈的圆心都在 x-轴以上;而负值 的圆圈的圆心则在 x-轴以下。当绝对值 增加时,圆半径会减小,圆心会靠近原点。当圆心与原点同点时, 达到最大值 。
不同 的等值曲线是一组围着焦点,互不相交,不同半径的圆圈。半径为
- 。
它们的圆心都包含于 x-轴。正值 的圆圈在 半平面;而负值 的圆圈在 半平面。 曲线则与 y-轴同轴。当 值增加时,圆圈的半径会减少,圆心会靠近焦点。
应用
双极坐标有一个经典的应用是在解析像拉普拉斯方程或亥姆霍兹方程这类的偏微分方程序。在这些方程序里,双极坐标允许分离变量法的使用。一个典型的例题是,「有两个互相平行的圆柱导体,请问其周围的电场为什么?」 应用双极坐标,我们可以精致地分析这例题。
参考文献
- H. Bateman "Spheroidal and bipolar coordinates", Duke Mathematical Journal 4 (1938), no. 1, 39–50。
- Lockwood, E. H. "Bipolar Coordinates." Chapter 25 in A Book of Curves. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 186-190, 1967。
- Korn GA and Korn TM, (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill。
- Weisstein, Eric W. (编). . at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2008-04-21]. (原始内容存档于2021-05-20) (英语).
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.