雙曲正弦

• 雙曲正弦在實數中是一個連續函數，在複數中是一個全純函數，因此在整個複數域中雙曲正弦處處可微，其導函數為雙曲餘弦函數。[9]
• 雙曲正弦是一個奇函數。[10]
• 在實數域中，雙曲正弦是一個嚴格遞增函數。其中在區間${\displaystyle \left[-\infty ,0\right]}$上是凹函數、在區間${\displaystyle \left[0,+\infty \right]}$上是凸函數。[9]

根據雙曲正弦與雙曲餘弦的指數定義，可以推得：[8][11]

${\displaystyle \mathrm {e} ^{z}=\cosh z+\sinh z}$

${\displaystyle \mathrm {e} ^{-z}=\cosh z-\sinh z}$

其與經典的歐拉公式類似。

當${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$時，有以下恆等式:[8][12]

${\displaystyle \sinh(\mathrm {i} x)={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}}{2}}=\mathrm {i} \sin(x)}$

${\displaystyle \sinh(x)=-\mathrm {i} \sin(\mathrm {i} x)}$[8]

${\displaystyle \sinh(x+y)=\sinh(x)\cosh(y)+\cosh(x)\sinh(y)}$

${\displaystyle \sinh x=2\sinh \left({\frac {x}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x}{2}}\right)}$

${\displaystyle \sinh x=x\prod _{n=1}^{\infty }{\cosh \left(x/2^{n}\right)}}$

${\displaystyle \sinh ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\cosh(x)-1}{2}}}$