關係範疇

集合範疇是關係範疇的（寬）子範疇，其中集合範疇的態射${\displaystyle f:X\longrightarrow Y}$對應至以${\displaystyle (x,y)\in F\iff f(x)=y}$定義的關係${\displaystyle F\subseteq X\times Y}$。[3][4]

關係範疇中的態射為關係，而其相對應的、從其反範疇映至關係範疇的態射有著反向的箭頭，因此這態射是個逆關係，因此關係範疇包含其反範疇且是個自雙對。[5]

由逆關係作代表所建構的對合為關係範疇提供了一個短劍結構，因此關係範疇是一個短劍範疇。

關係範疇有兩個做為同態函子並映至自己的函子，其中一個是二元關係${\displaystyle R\subseteq A\times B}$，另一個則是其轉置${\displaystyle R^{T}\subseteq B\times A}$，而這兩個二元關係的兩種合成關係分別為${\displaystyle RR^{T}}$及${\displaystyle R^{T}R}$，其中第一個合成關係${\displaystyle RR^{T}}$給出了A上的齊次關係；而第二個合成關係${\displaystyle R^{T}R}$則給出B上的齊次關係。由於這些函子是映至關係範疇自身的同態函子之故，因此這些同態函子是內部同態函子；而由於這些內部同態函子之故，因此關係範疇是個閉範疇，且是個短劍緊緻範疇。

關係範疇可以克萊斯利範疇的形式，由集合範疇得到，在這種狀況下，其有著以對應至冪集的函子為協變函子的單子。

一個第一眼看上去可能令人有點驚訝的事實是，關係範疇當中的乘法是以不相交聯集（而非如集合範疇一般的笛卡爾積）定義的[5]^:181，而其餘積亦然。

就其幺半乘積${\displaystyle A\otimes B}$與內部同態函子${\displaystyle A\implies B}$而言，關係範疇是個閉幺半範疇。

關係範疇是Peter J. Freyd與Andre Scedrov在1990年給出的代數結構寓範疇的原型[6]，他們自正則範疇與${\displaystyle F:A\longrightarrow B}$出發，他們注意到了派生函子${\displaystyle Rel(A,B)\longrightarrow Rel(FA,FB)}$的性質，像例如說這函子保存了合成、逆轉跟相交等運算，而他們之後以這樣的性質建構了寓範疇的公理。

David Rydeheard與Rod Burstall認為關係範疇有著作為齊次關係物件，一個例子是${\displaystyle A}$是一個集合而${\displaystyle R\subseteq A\times A}$是一個二元關係；而這個範疇的態射是集合間保持關係的函數，在${\displaystyle S\subseteq B\times B}$是第二個關係且${\displaystyle f:A\longrightarrow B}$是一個使得${\displaystyle xRy\implies f(x)Sf(y),}$成立的函數，那${\displaystyle f}$是一個態射。[7]

Adamek、Herrlich與Strecker三氏進一步發展了這想法，他們將物件${\displaystyle (A,R)}$與${\displaystyle (B,S)}$給設成（集合，關係）。[8]

• Francis Borceux. . Cambridge University Press. 1994: 115 [2022-07-14]. ISBN 978-0-521-44179-7. （原始内容存档于2022-07-14）.