重要性采样

假设${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }$为概率空间${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$上的一个随机变量。我们想要估计X的期望值，记作E[X;P]。如果根据P随机抽取样本${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$，估计的期望值即

${\displaystyle {\widehat {\mathbf {E} }}_{n}[X;P]={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$

这一估计的精确度取决于X的方差，

${\displaystyle \operatorname {var} [{\widehat {\mathbf {E} }}_{n};P]=\operatorname {var} [X;P]/n}$

而重要性采样的基本思想则是从另一个分布中抽取样本，用以降低E[X;P]估计的方差。进行重要性采样时，首先选择一个随机变量${\displaystyle L\geq 0}$，使得E[L;P]=1，并满足P上几乎处处${\displaystyle L(\omega )\neq 0}$。由此，可以定义新的概率

${\displaystyle \mathbf {E} [X;P]=\mathbf {E} \left[{\frac {X}{L}};P^{(L)}\right].}$

于是，我们可以从P^(L)上抽样，通过变量X/L估计E[X;P]。如果${\displaystyle \operatorname {var} \left[{\frac {X}{L}};P^{(L)}\right]<\operatorname {var} [X;P]}$成立，此时的估计便优于直接在原分布上采样得到的估计。

当X在Ω上不变号时，最优的L为${\displaystyle L^{*}={\frac {X}{\mathbf {E} [X;P]}}\geq 0}$。此时X/L*即为要估计的E[X;P]，只需一个样本便可得到该值。然而由于L*与要估计的E[X;P]有关，在实际操作中我们无法取到理论上最优的L*。不过，我们仍可以采用如下方式逼近该理论值：

${\displaystyle {\begin{aligned}\forall a\in \mathbb {R} ,\;P^{(L^{*})}(X\in [a;a+da])&=\int _{\omega \in \{X\in [a;a+da]\}}{\frac {X(\omega )}{E[X;P]}}dP(\omega )\\&={\frac {1}{E[X;P]}}\;a\,P(X\in [a;a+da])\end{aligned}}}$

于是，要估计的期望值可改写为：

${\displaystyle E[X;P]=\int _{a=-\infty }^{+\infty }a\,P(X\in [a;a+da])}$

注意到，更优（即让估计值方差更小）的P^(L)会使得样本分布的频率与其在E[X;P]计算中的权重更加相关。这也是该方法得名“重要性采样”的原因。

重要性采样常用于蒙特卡洛积分。当${\displaystyle P}$为均匀分布、${\displaystyle \Omega =\mathbb {R} }$时，E[X;P]即为实函数${\displaystyle X:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$的积分。

• Arouna, Bouhari. . Monte Carlo Methods and Their Applications. 2004, 10 (1): 1–24. doi:10.1515/156939604323091180.
• Bucklew, James Antonio. . New York: Springer-Verlag. 2004.
• Doucet, A.; de Freitas, N.; Gordon, N. . Springer. 2001. ISBN 978-0-387-95146-1.
• Ferrari, M.; Bellini, S. . The IEEE International Conference on Communications. 2001, 9: 2773–2777. doi:10.1109/ICC.2001.936655.
• Mazonka, Oleg. (PDF). Journal of Reference. 2016, 16 [2017-09-18]. （原始内容存档 (PDF)于2021-04-14）.
• Oberg, Tommy. . New York: John Wiley & Sons. 2001.
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP. . 3rd. New York: Cambridge University Press. 2007 [2017-09-18]. ISBN 978-0-521-88068-8. （原始内容存档于2011-08-11）.
• Ripley, B. D. . Wiley & Sons. 1987.
• Smith, P. J.; Shafi, M.; Gao, H. . IEEE J. Select. Areas Commun. 1997, 15 (4): 597–613. doi:10.1109/49.585771.
• Srinivasan, R. . Berlin: Springer-Verlag. 2002.