里奇流

给定黎曼流形上一个度规张量${\displaystyle g_{ij},}$可以计算出里奇张量${\displaystyle R_{ij},}$ 則这个度规张量（以及里奇张量）是一族与时间 t 有关的函数（儘管不一定是真实的物理相关的时间），然后里奇流的定义由以下几何演变方程（geometric evolution equation）給出[2]：

${\displaystyle \partial _{t}g_{ij}=-2R_{ij}.}$

正规化的里奇流需要结合紧空间流形给出方程：

${\displaystyle \partial _{t}g_{ij}=-2R_{ij}+{\frac {2}{n}}R_{\mathrm {avg} }g_{ij}.}$

这里的 ${\displaystyle R_{\mathrm {avg} }}$ 是关于标量曲率（為里奇張量的跡）的平均值，${\displaystyle n}$是流形的維數，这个正规化方程保持度量的體積不變。

实际上，这个-2 因数意义不大，因為可以常數乘 t 而使 -2 改寫成任意的非零實數。