连续线性算子

连续线性算子将有界集映射到有界集。 一个线性泛函是连续的，当且仅当其核是闭集。所有有限维空间上的线性泛函是连续的。

以下是等价的：给定拓扑空间X和Y之间的线性算子A：

1. A在X中的0点处连续。
2. A在X中的某点${\displaystyle x_{0}}$
3. A在X中的所有点处连续。

证明用到在线性拓扑空间中的开集的平移仍然是开集，以及等式

${\displaystyle A^{-1}(D)+x_{0}=A^{-1}(D+Ax_{0})\,\!}$

对于Y中的任意集合D和X中的任意x₀成立，这是由于A的可加性。

• Rudin, Walter. . McGraw-Hill Science/Engineering/Math. January 1991. ISBN 0-07-054236-8.