连续映射定理

概率论中，连续映射定理（英語：）指出连续函数保持极限，即使其参数是一列随机变量。

海涅定义下的连续函数是指将收敛数列映为收敛数列的函数：如果 $x_{n}\rightarrow x$ 那么 $(x_{n})\rightarrow g(x)$ 。连续映射定理指出，如果把确定的数列 $\{x_{n}\}$ 替换为一列随机变量 $\{x_{n}\}$ ，把通常的收敛定义替换为某种随机变量的收敛定义，那么这个命题依然成立。这个定理第一次由Mann & Wald (1943)证明，因此有时又被称作Mann–Wald定理。[1]

敍述

設 $X_{n}\ (n=0,1,\ldots )$ 和 $X$ 為度量空间 $S$ 中的随机元素，又設 $g:S\to S'$ 為自 $S$ 至另一個度量空間 $S'$ 的函數，其不连续点集 $D_{g}$ 滿足 $\mathbb {P} (X\in D_{g})=0$ ，則：[2][3]

{\begin{aligned}X_{n}\ \xrightarrow {\text{d}} \ X\quad &\implies \quad g(X_{n})\ \xrightarrow {\text{d}} \ g(X);\\[6pt]X_{n}\ \xrightarrow {\text{p}} \ X\quad &\implies \quad g(X_{n})\ \xrightarrow {\text{p}} \ g(X);\\[6pt]X_{n}\ \xrightarrow {\!\!{\text{a.s.}}\!\!} \ X\quad &\implies \quad g(X_{n})\ \xrightarrow {\!\!{\text{a.s.}}\!\!} \ g(X).\end{aligned}}

其中箭嘴上標的d、p、a.s.分別表示依分佈收斂、依概率收斂、殆必收斂。

参考資料

Amemiya 1985，第88頁
Billingsley, Patrick. . John Wiley & Sons. 1969: 31 (Corollary 1). ISBN 0-471-07242-7.
Van der Vaart, A. W. . New York: Cambridge University Press. 1998: 7 (Theorem 2.3) [2022-05-02]. ISBN 0-521-49603-9. （原始内容存档于2020-07-28）.

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[1] Amemiya 1985，第88頁

[2] Billingsley, Patrick. . John Wiley & Sons. 1969: 31 (Corollary 1). ISBN 0-471-07242-7.

[3] Van der Vaart, A. W. . New York: Cambridge University Press. 1998: 7 (Theorem 2.3) [2022-05-02]. ISBN 0-521-49603-9. （原始内容存档于2020-07-28）.