質數階乘質數

質數階乘質數（又稱數階乘數或數階乘數）是和某个質數階乘相邻的質數，即它是某个質數階乘的增一或減一。

pn的質數階乘記作pn#。
pn# − 1是質數，對n = 2, 3, 5, 6, 13, 24, ... （OEIS數列A057704）
pn# + 1是質數，對n = 1, 2, 3, 4, 5, 11, ...（A014545）

前幾個質數階乘質數是：

3, 5, 7, 29, 31, 211, 2309, 2311, 30029, 200560490131, 304250263527209

截至2010年 (2010-表达式错误：无法识别的符号“某”。)，我們所知道的最大質數階乘質數是843301# - 1，它有365,851位數，由PrimeGrid發現。[1]

質數階乘質數也能用來證明質數是無限的。 首先，假設前n個質數是唯一存在的質數。如果pn# + 1或pn# − 1是質數階乘質數，這意味著有比第n個質數更大的質數（即使不是質數，也能證明質數無窮，但不那麼直接。這兩個數除以前n個中的任何一個質數 p 時，都有餘數 1 或 p−1 ，因此不整除其中任何一數）。

事實上，歐幾里得的證明並沒有假設一個有限集合包含所有質數的存在。相反，他說：

consider any finite set of primes 
(not necessarily the first n primes;
 e.g. it could have been the set {3, 11, 47}),
 and then went on from there to the conclusion 
that at least one prime exists that is not in that set.

意思是： 考慮任何質數的有限集合（不一定是一開始的質數，例如，它可以是集合{3，11，47}），然後從兩個方面得到這樣的結論：至少存在一個不在該集合的質數。 （页面存档备份，存于）[2]

參見

參考文獻
  • A. Borning, "Some Results for and " Math. Comput. 26 (1972): 567 - 570.
  • Chris Caldwell, The Top Twenty: Primorial （页面存档备份，存于） at The PrimePages.
  • 埃里克·韦斯坦因. . MathWorld.
  • Harvey Dubner, "Factorial and Primorial Primes." J. Rec. Math. 19 (1987): 197 - 203.
  • Paulo Ribenboim, The New Book of Prime Number Records. New York: Springer-Verlag (1989): 4.
  1. Primegrid.com （页面存档备份，存于）; official anouncement, 24 December 2010
  2. A. Borning, "Some Results for and " Math. Comput. 26 (1972): 567 - 570.
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