罗伊恒等式

罗伊恒等式（Roy's identity）是微观经济学中的一项重要结果，在生产者理论和消费者理论中都有应用。

具体表述

设消费者的间接效用函数为 $v(\mathbf {p} ,w)$ ，则商品 $i$ 的马歇尔需求函数即为

x_{i}^{m}=-{\frac {\partial v/\partial p_{i}}{\partial v/\partial w}}

，

其中 $\mathbf {p}$ 为各商品的价格向量， $w$ 为收入。[1]

证明

根据定义，间接效用函数满足约束条件 $\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} =w$ 下的最大值 $v(\mathbf {p} ,w)=\max _{\mathbf {x} }u(\mathbf {x} )$ 。因此由带约束的包络定理立即得到

{\frac {\partial v}{\partial \mathbf {p} }}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {p} }}=-\lambda \mathbf {x}

，

其中 ${\mathcal {L}}=u(\mathbf {x} )-\lambda (\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} -w)$ 为拉格朗日乘數，由其表达式可得 $\lambda ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial w}}={\frac {\partial v}{\partial w}}$ ，代入上式即得证。[2]

參見

薛福輔理

参考文献

Varian, Hal. Third. New York: Norton. 1992: 106–108.
Cornes, Richard. . New York: Cambridge University Press. 1992: 45–47 [2018-11-11]. ISBN 0-521-33291-5. （原始内容存档于2022-04-07）.

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[1] Varian, Hal. Third. New York: Norton. 1992: 106–108.

[2] Cornes, Richard. . New York: Cambridge University Press. 1992: 45–47 [2018-11-11]. ISBN 0-521-33291-5. （原始内容存档于2022-04-07）.