筛法

下为此文表记的注意事项：

在文献中，人们常将串行集合${\displaystyle {\mathcal {A}}}$与${\displaystyle A}$本身等同，也就是说，可以将${\displaystyle {\mathcal {A}}}$表示成${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{s:s\leq x\}}$以定义串行${\displaystyle {\mathcal {A}}=(a_{n})}$；

此外，在文献中${\displaystyle A_{d}(x)}$这和有时以集合${\displaystyle A_{d}(x)}$的元素个数${\displaystyle |A_{d}(x)|}$表示；然而此处我们因为已经将${\displaystyle A_{d}(x)}$定义为元素个数之故，因此此处我们以 ${\displaystyle \mathbb {P} }$表示质数的集合，并以${\displaystyle (a,b)}$表示${\displaystyle a}$与${\displaystyle b}$的最大公因数。

我们可通过默比乌斯函数及一组由${\displaystyle {\mathcal {P}}}$中的元素生成的函数${\displaystyle A_{d}(x)}$，将筛选函数表述为一个称为「勒让德等式」（Legendre's identity）的函数：

${\displaystyle S({\mathcal {A}},{\mathcal {P}},z)=\sum \limits _{d\mid P(z)}\mu (d)A_{d}(x)}$

其中${\displaystyle A_{d}(x)}$的形式如下：

${\displaystyle A_{d}(x)=\sum \limits _{n\leq x,n\equiv 0{\pmod {d}}}a_{n}.}$

设${\displaystyle z=7}$及${\displaystyle {\mathcal {P}}=\mathbb {P} }$，由于默比乌斯函数对所有的质数都呈负值之故，因此有下式：

${\displaystyle {\begin{aligned}S({\mathcal {A}},\mathbb {P} ,7)&=A_{1}(x)-A_{2}(x)-A_{3}(x)-A_{5}(x)+A_{6}+A_{10}+A_{15}-A_{30}.\end{aligned}}}$

我们可以假定说${\displaystyle A_{d}(x)}$可以下式表达：

${\displaystyle A_{d}(x)=g(d)X+r_{d}(x)}$

其中${\displaystyle g(d)}$是一个「密度」（density），也就是有如下形式的积性函数：

${\displaystyle g(1)=1,\qquad 0\leq g(p)<1\qquad p\in \mathbb {P} }$

此外，此处的${\displaystyle X}$是${\displaystyle A_{1}(x)}$的估计，而${\displaystyle r_{d}(x)}$则是余项，因此筛函数可变为以下的形式：

${\displaystyle S({\mathcal {A}},{\mathcal {P}},z)=X\sum \limits _{d\mid P(z)}\mu (d)g(d)+\sum \limits _{d\mid P(z)}\mu (d)r_{d}(x)}$

或简单地说，

${\displaystyle S({\mathcal {A}},{\mathcal {P}},z)=XG(x,z)+R(x,z).}$

我们可通过找出${\displaystyle S}$、${\displaystyle G}$及${\displaystyle R}$的上下界来估计筛函数。

筛函数的部分和会交替性地大于跟小于集合大小本身，而其余项最终会变得非常大。玮哥·布朗解决这问题的方法，是将筛函数中的${\displaystyle \mu (d)}$以一个包含受限默比乌斯函数的权重串行${\displaystyle (\lambda _{d})}$取代。通过选取两个适当的串行${\displaystyle (\lambda _{d}^{-})}$及${\displaystyle (\lambda _{d}^{+})}$并将筛函数以${\displaystyle S^{-}}$及${\displaystyle S^{+}}$表示，可得到原始筛函数的下界与上界：

${\displaystyle S^{-}\leq S\leq S^{+}.}$[3]

另由于${\displaystyle g}$是积性函数之故，因此也可研究下式：

${\displaystyle \sum \limits _{d\mid n}\mu (d)g(d)=\prod \limits _{\begin{array}{c}p|n;\;p\in \mathbb {P} \end{array}}(1-g(p)),\quad \forall \;n\in \mathbb {N} .}$