第二基本形式

R³ 中一个参数曲面 S 的第二基本形式由高斯引入。最先假设曲面是两次连续可微函数的像，z = f(x,y)，且平面 z = 0 与曲面在原点相切。则 f 以及关于 x 和 y 的偏导数在 (0,0) 皆为零。从而 f 在 (0,0) 处的泰勒展开以二次项开始：

${\displaystyle z=f_{xx}{\frac {x^{2}}{2}}+f_{xy}xy+f_{yy}{\frac {y^{2}}{2}}+o(n)}$，

记 ${\displaystyle L=f_{xx},M=f_{xy},N=f_{yy}}$, 则在 (x, y) 坐标中原点处的第二基本形式是二次型：

${\displaystyle Ldx^{2}+2Mdxdy+Ndy^{2}.\,}$

对 参数曲面S 上一个光滑点 p，总可以选取坐标系使得坐标的 z-平面与 S 切于 p，然后可以相同的方式定义第二基本形式。

一个一般参数曲面的第二基本形式定义如下。设 r=r(u,v) 是 R³ 中一个正则参数曲面，这里 r 是两个变量的光滑向量值函数。通常记 r 关于 u 和 v 的偏导数为 r_u 与 r_v。参数化的正则性意味着 r_u 与 r_v 对 r 的定义域中任何 (u,v) 是线性无关的。等价地，叉积 r_u × r_v 是曲面的一个非零法向量。参数化这样就定义了一个单位法向量场 n(u,v)：

${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}{|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}|}}.}$

第二基本形式通常写成

${\displaystyle \mathrm {II} =Ldu^{2}+2Mdudv+Ndv^{2},\,}$

在基 {r_u, r_v} 下的矩阵是

${\displaystyle {\begin{bmatrix}L&M\\M&N\end{bmatrix}}.}$

在参数化 uv-平面上一个给定点处系数 L, M, N 由 r 在那个点的二次偏导数到 S 的法线上投影给出，利用点积可计算如下：

${\displaystyle L=\mathbf {r} _{uu}\cdot \mathbf {n} ,\quad M=\mathbf {r} _{uv}\cdot \mathbf {n} ,\quad N=\mathbf {r} _{vv}\cdot \mathbf {n} .}$

一个通常曲面 S 的第二基本形式定义如下：设 r=r(u¹,u²) 是 R³ 中一个正则参数曲面，这里 r 是两个变量的光滑向量值函数。通常记 r 关于 u^α 的偏导数为 r_α，α = 1，2。参数化的正则性意味着 r₁ 与 r₂ 在 r 的定义域上是线性无关的，从而在每一点张成 S 的切空间。等价地，叉积 r₁ × r₂ 是曲面的一个非零法向量。这样参数化定义了一个单位法向量场 n：

${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}|}}}$

第二基本形式通常写作

${\displaystyle \mathrm {II} =b_{\alpha \beta }du^{\alpha }du^{\beta }}$

上式使用了爱因斯坦求和约定。

在参数 (u¹, u²)-曲面给定点处系数 b_αβ 由 r 的二次偏导数到 S 的法线的投影给出，利用点积可写成：

${\displaystyle b_{\alpha \beta }=\mathbf {r} _{\alpha \beta }\cdot \mathbf {n} }$

第二基本形式可以推广到任意餘維數。在这种情形下，它是切空间上取值于法丛的一个二次型，可以定义为

${\displaystyle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)=(\nabla _{v}w)^{\bot },}$

这里 ${\displaystyle (\nabla _{v}w)^{\bot }}$ 表示共变导数 ${\displaystyle \nabla _{v}w}$ 到法丛的正交投影。

在欧几里得空间中，子流形的曲率张量可以描述为下列公式：

${\displaystyle \langle R(u,v)w,z\rangle =\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle .}$

这叫做高斯方程，可以视为高斯绝妙定理的推广。在一个标准正交基中第二基本形式的本征值，是曲面的主曲率。一组正交规范本征向量称为主方向。

对一般的黎曼流形必须添加周围空间的曲率；如果 N 是嵌入黎曼流形 (M,g) 中一个流形，则 N 在诱导度量下的曲率张量 ${\displaystyle R_{N}}$ 可以用第二基本形式与 M 的曲率张量 ${\displaystyle R_{M}}$ 表示出来：

${\displaystyle \langle R_{N}(u,v)w,z\rangle =\langle R_{M}(u,v)w,z\rangle +\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle .}$