獨立性 (數理邏輯)

在數理邏輯上，獨立性指的是一個句子相對於其他句子的不可證明性。

若一個句子 $\sigma$ 獨立於一個一階理論 $T$ ，那就表示說 $\sigma$ 在 $T$ 中是不能證明也不能否證的，也就是說不能由 $T$ 證明 $\sigma$ ，也不能由 $T$ 證明 $\sigma$ 為偽。對於這樣的 $\sigma$ ，有時會說 $\sigma$ 在 $T$ 中是不可判定的，而這裡的「不可判定」跟決定性問題中的「不可判定」是不同的。

若理論 $T$ 中的每項公設都不能由 $T$ 中的其他公設證明，則說 $T$ 是獨立的，一個有著獨立公設集合的理論又稱可獨立公設化的。

用法注意

在一些作者的用法下，「 $\sigma$ 獨立於 $T$ 」只表示「 $\sigma$ 在 $T$ 中是不能證明的」，但不表示 $\sigma$ 是不能否證的，而這些作者在講說「 $\sigma$ 在 $T$ 中是不能證明也不能否證的」時候，常會說「 $\sigma$ 是獨立且自洽於 $T$ 的。」

集合論中的獨立結果

在假定ZFC（帶有選擇公理的策梅洛-弗兰克尔集合论）本身自洽的狀況下，下述的問題是獨立於ZFC的：

強不可達基數的存在性
大基數的存在性
庫瑞巴樹的存在性

下述的問題不相容於選擇公理，故不與ZFC相容；然而這些問題很可能獨立於ZF；換句話說下述的問題不能在ZF中證明，且只有少數的集合論專家期望在ZF中找到這些問題的否證；然而即使ZF是自洽的，也無法以ZF證明下述的問題獨立於ZF：

決定公理
實決定公理
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在物理理論上的應用

自2000年起，學界開始認為邏輯獨立性在物理基礎上扮演著關鍵角色。[1][2]

參見

ZFC系統無法確定的命題列表
幾何等領域的平行公設

註解

Paterek, T.; Kofler, J.; Prevedel, R.; Klimek, P.; Aspelmeyer, M.; Zeilinger, A.; Brukner, Č., , New Journal of Physics, 2010, 12: 013019, Bibcode:2010NJPh...12a3019P, arXiv:0811.4542 , doi:10.1088/1367-2630/12/1/013019
Székely, Gergely, , Reports on Mathematical Physics, 2013, 72 (2): 133–152, Bibcode:2013RpMP...72..133S, arXiv:1202.5790 , doi:10.1016/S0034-4877(13)00021-9

參考資料

Mendelson, Elliott, 4th, London: Chapman & Hall, 1997, ISBN 978-0-412-80830-2
Monk, J. Donald, , Graduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1976, ISBN 978-0-387-90170-1
Stabler, Edward Russell, , Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, 1948

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[1] Paterek, T.; Kofler, J.; Prevedel, R.; Klimek, P.; Aspelmeyer, M.; Zeilinger, A.; Brukner, Č., , New Journal of Physics, 2010, 12: 013019, Bibcode:2010NJPh...12a3019P, arXiv:0811.4542 , doi:10.1088/1367-2630/12/1/013019

[2] Székely, Gergely, , Reports on Mathematical Physics, 2013, 72 (2): 133–152, Bibcode:2013RpMP...72..133S, arXiv:1202.5790 , doi:10.1016/S0034-4877(13)00021-9