爱因斯坦场方程

${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}$

其中

• ${\displaystyle G_{\mu \nu }\,}$称为爱因斯坦张量，
• ${\displaystyle R_{\mu \nu }\,}$是从黎曼张量缩并而成的里奇张量，代表曲率项；
• ${\displaystyle R\,}$是从里奇张量缩并而成的纯量曲率(或曲率标量)；
• ${\displaystyle g_{\mu \nu }\,}$是从(3+1)维时空的度规张量；
• ${\displaystyle T_{\mu \nu }\,}$是能量-动量-应力张量，
• ${\displaystyle G\,}$是牛顿重力常数，
• ${\displaystyle c\,}$是真空中光速。

爱因斯坦场方程是一组含有若干4阶对称张量的张量方程。每一个张量都有10个独立的分量。由于4个毕安基恒等式，我们可以将10个爱因斯坦场方程序减少至6个独立的方程组。这导致了度规张量g_μν有4个自由度，与座标选取的4个自由度是对应的。

虽然爱因斯坦场方程一开始是一个应用在四维时空的理论，但是一些理论学家尝试将它应用在探索n维时空上。真空中的场方程(当方程序右边的T张量等于零)定义了爱因斯坦流形。

尽管爱因斯坦方程的形式看起来很简单，实际上他们是一组复杂的二阶非线性微分方程。只要给定一个质量与能量分布，亦即能量-动量张量，爱因斯坦场方程就变成一个度规张量g_μν的微分方程。

一般我们借由定义爱因斯坦张量( 一个对称的与度规g_μν有关的二阶张量) ： ${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}R\,g_{\mu \nu },}$ 来将爱因斯坦场方程写成一个更加简单的形式：

${\displaystyle G_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }.}$。

若使用几何化单位制或称自然单位制，则G = c = 1，场方程因此简化为：

${\displaystyle G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }\,.}$

如果是使用相对论中的几何化单位制（有理化的几何化单位制），则场方程为：

${\displaystyle G_{\mu \nu }=2T_{\mu \nu }\,.}$

经爱因斯坦方程组两边同乘以g_μν：

${\displaystyle R-{\frac {D}{2}}R+D\Lambda ={8\pi G \over c^{4}}T\,}$ 其中D是时空维度。

两边再同除以${\displaystyle {\frac {D}{2}}-1}$：

${\displaystyle -R+{\frac {D\Lambda }{({\tfrac {D}{2}}-1)}}={8\pi G \over c^{4}}{\frac {T}{{\tfrac {D}{2}}-1}}\,.}$

两边再同乘−1/2g_μν：

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {\Lambda g_{\mu \nu }}{{\tfrac {D}{2}}-1}}={8\pi G \over c^{4}}\left(T_{\mu \nu }-{1 \over {D-2}}T\,g_{\mu \nu }\right).\,}$

一般情况下，D=4：

${\displaystyle R_{\mu \nu }-\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}\left(T_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}T\,g_{\mu \nu }\right).\,}$

场方程序的一个重要结果是遵守局域的（local）能量与动量守恒，通过应力-能量张量（代表能量密度、动量密度以及应力）可写出：

${\displaystyle \nabla _{\nu }T^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }{}_{;\nu }=0}$

场方程序左边（弯曲几何部份）因为和场方程序右边（物质状态部份）仅成比例关系，物质状态部份所遵守的守恒律因而要求弯曲几何部份也有相似的数学结果。通过微分比安基恒等式，以描述时空曲率的里奇张量${\displaystyle R^{\mu \nu }\,}$（以及张量缩并后的里奇纯量${\displaystyle R\equiv R_{\mu }^{\mu }\,}$）之代数关系所设计出来的爱因斯坦张量${\displaystyle G^{\mu \nu }\equiv R^{\mu \nu }-{1 \over 2}g^{\mu \nu }R}$可以满足这项要求：

${\displaystyle \nabla _{\nu }G^{\mu \nu }=G^{\mu \nu }{}_{;\nu }=0}$

爱因斯坦场方程序的非线性特质使得广义相对论与其他物理学理论迥异。举例来说，电磁学的麦克斯韦方程组跟电场、磁场以及电荷、电流的分布是呈线性关系（亦即两个解的线性叠加仍然是一个解）。另个例子是量子力学中的薛定谔方程，对于几率波函数也是线性的。

通过弱场近似以及慢速近似，可以从爱因斯坦场方程序退化为牛顿重力定律。事实上，场方程序中的比例常数是经过这两个近似，以跟牛顿重力理论做链接后所得出。[3]

若能量-动量张量${\displaystyle T_{\mu \nu }}$在所关注的区域中为零，则场方程序被称作真空场方程序。在完整的场方程序中设置${\displaystyle T_{\mu \nu }=0}$，则真空场方程序可写为：

${\displaystyle R_{\mu \nu }={1 \over 2}g_{\mu \nu }R\ }$

对此式做张量缩并，亦即使指针μ跟ν相同：

${\displaystyle R\equiv R_{\mu }^{\mu }=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }=g^{\mu \nu }{1 \over 2}g_{\mu \nu }R}$

由于${\displaystyle g^{\mu \nu }g_{\mu \nu }=\delta _{\mu }^{\mu }}$，整理可得：

${\displaystyle R=\delta _{\mu }^{\mu }{1 \over 2}R}$

而克罗内克尔δ在四维空间（时空）下取迹数为4，所以式子可写作：

${\displaystyle R=4\cdot {1 \over 2}R=2R}$

是故${\displaystyle R=0\,}$。

因此可以得到此一更常见、等价的迹数反转（trace-reversed）式：

${\displaystyle R_{\mu \nu }=0\ }$

若宇宙常数不为零，则方程序为

${\displaystyle R_{\mu \nu }={1 \over 2}g_{\mu \nu }R-\Lambda g_{\mu \nu },\ }$

若同上面宇宙常数为零的例子，其迹数反转（trace-reversed）形式为

${\displaystyle R_{\mu \nu }=\Lambda g_{\mu \nu }\ }$

真空场方程序的解顾名思义称作真空解。平直闵可夫斯基时空是最简单的真空解范例。不寻常的真空解范例包括了史瓦西解与克尔解。

附带一提的是：微分几何中，里奇张量为零（即：${\displaystyle R_{\mu \nu }=0}$）的流形称作里奇平坦流形，另外里奇张量与度规成比例关系的流形，称为爱因斯坦流形（Einstein manifold）。