泽尔尼克多项式

泽尔尼克多项式是一个以1953年获诺贝尔物理学奖荷兰物理学家弗里茨·泽尔尼克命名的正交多项式,分为奇、偶两类

头15个泽尔尼克多项式
20个泽尔尼克多项式 以Noll序列表示

奇多项式:

偶多项式


其中 为非负整数,

方位角

 为径向距离

如果 n-m为偶数则


如果n-m为奇数,则

泽尔尼克多项式的超几何函数表示

泽尔尼克多项式也可以表示为超几何函数


Noll 序列

Noll 用一个J数字表示 [n,m]:如下表

n,m 0,01,11,−12,02,−22,23,−13,13,−33,3
j 12345678910
n,m 4,04,24,−24,44,−45,15,−15,35,−35,5
j 11121314151617181920

泽尔尼克多项式

由于

其中因j而异,

必须先归一化

使得


归一化泽尔尼克多项式以Noll序列排列如下:

Noll index ()Radial degree ()Azimuthal degree ()Classical name
100Piston
211Tip (lateral position) (X-Tilt)
31−1Tilt (lateral position) (Y-Tilt)
420Defocus (longitudinal position)
52−2Astigmatism
622Astigmatism
73−1Coma
831Coma
93−3Trefoil
1033Trefoil
1140Third-order spherical
1242
134−2
1444
154−4

正交性

径向正交性
角度正交性

其中 称为Neumann因子,其数值为 2 如果满足 ,数值为 1,如果 .

径向与角度正交性

其中 为 雅可比矩阵

都是偶数.


参考文献

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