比值审敛法

比值审敛法（Ratio test）是判别级数敛散性的一种方法，又称为达朗贝尔判别法（）[1]。

定理

比值审敛法判断流程表

设 $\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$ 为一级数，如果

$\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\right|=\rho$ ，

当ρ<1时级数絕對收敛
当ρ>1时级数发散
当ρ=1时级数可能收敛也可能发散。

证明

如果 $\rho <1$ ，那么存在一个实数 $r$ 以及一个正整数 $N$ ，满足 $\rho <r<1$ ，使得当 $n>N$ 时，总有 $|a_{n+1}|<r|a_{n}|$ 成立；因此在上述条件下，当 $k$ 为正整数时有 $|a_{n+k}|<r^{k}|a_{n}|$ ，于是根据无穷等比数列求和得出下式绝对收敛：

\sum _{k=N+1}^{\infty }|a_{k}|=\sum _{k=1}^{\infty }|a_{N+k}|<|a_{N}|\sum _{k=1}^{\infty }r^{k}={\frac {|a_{N}|\cdot r}{1-r}}<\infty

如果 $\rho >1$ ，那么同样存在一个正整数 $N$ ，使得当 $n>N$ 时，总有 $|a_{n+1}|>|a_{n}|$ ，求和项的极限不为零，于是级数发散。

而当 $\rho =1$ 时，以 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ 与 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ 为例，结果同样为 $\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {\frac {1}{n+1}}{\frac {1}{n}}}\right|=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {\frac {1}{(n+1)^{2}}}{\frac {1}{n^{2}}}}\right|=1$ ，但前者发散而后者收敛（后者收敛值为 ${\frac {\pi ^{2}}{6}}$ ），该例子可以用比较审敛法来审敛。

例子

收敛

考虑级数

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{e^{n}}}

{\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {\frac {n+1}{e^{n+1}}}{\frac {n}{e^{n}}}}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {n+1}{e^{n+1}}}\cdot {\frac {e^{n}}{n}}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {n+1}{n}}\cdot {\frac {e^{n}}{e^{n}\cdot e}}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|\left(1+{\frac {1}{n}}\right)\cdot {\frac {1}{e}}\right|\\&=1\cdot {\frac {1}{e}}={\frac {1}{e}}<1.\end{aligned}}

因此该级数收敛。

发散

考虑级数

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{n}}{n}}

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left\|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right\|$	= $\lim _{n\rightarrow \infty }\left\|{\frac {\frac {e^{n+1}}{n+1}}{\frac {e^{n}}{n}}}\right\|$
	= $\lim _{n\rightarrow \infty }\left\|{\frac {e^{n+1}}{n+1}}\cdot {\frac {n}{e^{n}}}\right\|$
	= $\lim _{n\rightarrow \infty }\left\|{\frac {n}{n+1}}\cdot {\frac {e^{n}\cdot e}{e^{n}}}\right\|$
	= $\lim _{n\rightarrow \infty }\left\|(1-{\frac {1}{n+1}})\cdot e\right\|$
	= $1\cdot e$
	= $\!\,e(>1)$

因此该级数发散。

不能确定

级数

\sum _{n=1}^{\infty }1

发散，但

\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {1}{1}}\right|=1.

而级数

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}

收敛，但

\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {1}{(n+1)^{2}}}{\frac {1}{n^{2}}}}\right|=1.

参见

参考文献

卓里奇, B.A. 第7版. ISBN 9787040287554.

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[1] 卓里奇, B.A. 第7版. ISBN 9787040287554.

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left\|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right\|$	= $\lim _{n\rightarrow \infty }\left\|{\frac {\frac {e^{n+1}}{n+1}}{\frac {e^{n}}{n}}}\right\|$
	= $\lim _{n\rightarrow \infty }\left\|{\frac {e^{n+1}}{n+1}}\cdot {\frac {n}{e^{n}}}\right\|$
	= $\lim _{n\rightarrow \infty }\left\|{\frac {n}{n+1}}\cdot {\frac {e^{n}\cdot e}{e^{n}}}\right\|$
	= $\lim _{n\rightarrow \infty }\left\|(1-{\frac {1}{n+1}})\cdot e\right\|$
	= $1\cdot e$
	= $\!\,e(>1)$