拉東測度

在一個局部緊豪斯多夫空間上，拉東測度對應到在緊支集連續函數空間上的正線性泛函。這個性質是提出拉東測度的定義的主要原因。

在${\displaystyle X}$上的所有（正）拉東測度組成的帶點錐 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{+}(X)}$，可以用下述度量使成為完備度量空間。定義兩個測度${\displaystyle m_{1},m_{2}\in {\mathcal {M}}_{+}(X)}$間的拉東距離為

${\displaystyle \rho (m_{1},m_{2}):=\sup \left\{\left.\int _{X}f(x)\,d(m_{1}-m_{2})(x)\ \right|f\in C(X),f:X\to [-1,1]\subset \mathbb {R} \right\}.}$

其中最小上界是對所有連續函數f: X → [-1, 1]取的。

這個度量有一些限制。例如${\displaystyle X}$上的概率測度

${\displaystyle {\mathcal {P}}(X):=\{m\in {\mathcal {M}}_{+}(X)\mid m(X)=1\}}$

關於拉東度量不是序列緊緻，即是概率測度序列未必有收斂子序列。這個性質在一些應用中會造成困難。另一方面，若${\displaystyle X}$是緊緻度量空間，那麼 Wasserstein度量使${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$成為緊緻度量空間。

在拉東度量收斂意味著測度的弱收斂：

${\displaystyle \rho (m_{n},m)\to 0\Rightarrow m_{n}\rightharpoonup m,}$

但反之則不必然。在拉東度量收斂有時稱為強收斂，以便和弱收斂對比。