扰动函数

令${\displaystyle (X,X^{*})}$、${\displaystyle (Y,Y^{*})}$对偶（为对偶对）。给定主问题（最小化${\displaystyle f(x)}$）与相关的扰动函数（${\displaystyle F(x,\ y)}$），则拉格朗日量${\displaystyle L:X\times Y^{*}\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$是F关于y的负共轭（即凸共轭），也就是说拉格朗日量的定义是

${\displaystyle L(x,y^{*})=\inf _{y\in Y}\left\{F(x,y)-y^{*}(y)\right\}.}$

特别地，弱对偶minmax方程可以证明为

${\displaystyle \sup _{y^{*}\in Y^{*}}-F^{*}(0,y^{*})=\sup _{y^{*}\in Y^{*}}\inf _{x\in X}L(x,y^{*})\leq \inf _{x\in X}\sup _{y^{*}\in Y^{*}}L(x,y^{*})=\inf _{x\in X}F(x,0).}$

若主问题是

${\displaystyle \inf _{x:g(x)\leq 0}f(x)=\inf _{x\in X}{\tilde {f}}(x)}$

其中${\displaystyle {\tilde {f}}(x)=f(x)+I_{\mathbb {R} _{+}^{d}}(-g(x))}$。则若扰动是

${\displaystyle \inf _{x:g(x)\leq y}f(x)}$

则扰动函数是

${\displaystyle F(x,y)=f(x)+I_{\mathbb {R} _{+}^{d}}(y-g(x)).}$

于是，可见与拉格朗日对偶的联系，因为L可以简单地看成是

${\displaystyle L(x,y^{*})={\begin{cases}f(x)-y^{*}(g(x))&{\text{if }}y^{*}\in \mathbb {R} _{-}^{d},\\-\infty &{\text{else}}.\end{cases}}}$

令${\displaystyle (X,X^{*})}$、${\displaystyle (Y,Y^{*})}$对偶。假定存在线性映射${\displaystyle T:X\to Y}$与伴随算子${\displaystyle T^{*}:Y^{*}\to X^{*}}$。假定主目标函数${\displaystyle f(x)}$（通过示性函数，包含了约束）可以写作${\displaystyle f(x)=J(x,Tx)}$使得${\displaystyle J:X\times Y\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$，则扰动函数为

${\displaystyle F(x,y)=J(x,Tx-y).}$

特别地，若主目标函数是${\displaystyle f(x)+g(Tx)}$，则扰动函数来自${\displaystyle F(x,y)=f(x)+g(Tx-y)}$，这是芬切尔对偶性的传统定义。[5]