微分熵

${\displaystyle f(x,y)}$为${\displaystyle X,Y}$之联合几率密度函数，其条件熵为:

${\displaystyle h(X|Y)=-\int f(x,y)log{f(x|y)}dxdy}$。

又称KL散度（Kullback–Leibler divergence)，两几率密度函数f、g的相对熵定义为:

${\displaystyle D(f||g)=\int flog{f \over g}}$。

两连续型随机变量的联合几率密度函数为${\displaystyle f(x,y)}$，其互信息:

${\displaystyle I(X;Y)=D(f(x,y)||f(x)f(y))}$

广义而言，我们可以将互信息定义在有限多个连续随机变量值域的划分。 可参考连续互信息的量化。

与香农相对熵性质相同，恒正。

${\displaystyle -{\displaystyle D(f||g)=\int flog{g \over f}}}$

${\displaystyle \leq log\int f{g \over f}}$ (延森不等式)

${\displaystyle \leq 0}$。

一次观测所有随机变量所测得的联合熵，与个别接收随机变量后计算的条件熵总和相同，即观测顺序与间隔不影响微分熵。

${\displaystyle h(X_{1},X_{2},...,X_{n})=\sum _{k=1}^{n}h(X_{i}|X_{1},X_{2},...,X_{i-1})}$。

随机变量的平移不影响微分熵，因为固定的平移不会增加随机变量的方差。

${\displaystyle h(X+c)=h(X)}$

将随机变量缩放会增加其方差，微分熵亦会随之增加。

${\displaystyle h(AX)=h(X)+log|det(A)|}$

期望值为0，方差为${\displaystyle \sigma ^{2}}$且值域为${\displaystyle R}$之随机变量${\displaystyle X}$的微分熵，其上界为常态分布${\displaystyle N(0,\sigma ^{2})}$的微分熵。

${\displaystyle h(X)\leq {1 \over 2}log(2\pi e\sigma ^{2})}$

随机变量${\displaystyle X}$与其估计子${\displaystyle {\widehat {X}}}$之均方误差存在下界，当${\displaystyle X}$为常态分布且${\displaystyle {\widehat {X}}}$为无偏估计子时，等号成立。

${\displaystyle E[(X-{\widehat {X}})^{2}]\geq {1 \over {2\pi e}}e^{2h(X)}}$

离散随机变量的香农熵中，独立同分布的随机变量串行，在渐进等分性(Asymptotic equipartition property)之下其几率质量函数${\displaystyle p(X_{1},X_{2},...,X_{n})}$趋近于${\displaystyle 2^{-nH(X)}}$。

连续型随机变量之渐进等分性：

${\displaystyle -{1 \over n}log(f(X_{1},X_{2},...,X_{n}))\rightarrow h(X)}$

典型集(Typical set)定义如下

${\displaystyle A_{\epsilon }^{(n)}=\{(x_{1},x_{2},...,x_{n})\in S^{n}:|-{1 \over n}logf(x_{1},x_{2},...,x_{n})-h(X)|\leq \epsilon }\}$,${\displaystyle \epsilon >0}$

集合包含于${\displaystyle R^{n}}$,${\displaystyle A\subset R^{n}}$，其体积(Volume)${\displaystyle Vol(A)}$定义如下:

${\displaystyle Vol(A)=\int \limits _{A}dx_{1}dx_{2}...dx_{n}}$。

典型集${\displaystyle A_{\epsilon }^{(n)}}$的体积有以下性质:

1.${\displaystyle Vol(A_{\epsilon }^{(n)})\leq 2^{n(h(X)+\epsilon )}}$

2.${\displaystyle Vol(A_{\epsilon }^{(n)})\geq (1-\epsilon )2^{n(h(X)-\epsilon )}}$

证明

1.

由${\displaystyle -{1 \over n}log(f(X_{1},X_{2},...,X_{n}))\rightarrow h(X)}$，

可得：

${\displaystyle 1=\int _{S^{n}}f(x_{1},x_{2},...,x_{n})dx_{1}dx_{2}...dx_{n}}$

${\displaystyle \geq \int _{A_{\epsilon }^{(n)}}f(x_{1},x_{2},...,x_{n})dx_{1}dx_{2}...dx_{n}}$

${\displaystyle \geq \int _{A_{\epsilon }^{(n)}}2^{-n(h(X)+\epsilon )}dx_{1}dx_{2}...dx_{n}}$

${\displaystyle =2^{-n(h(X)+\epsilon )}\int _{A_{\epsilon }^{(n)}}dx_{1}dx_{2}...dx_{n}}$

${\displaystyle =2^{-n(h(X)+\epsilon )}Vol(A_{\epsilon }^{(n)})}$

2.

当n足够大时，${\displaystyle Pr(A_{\epsilon }^{(n)})>1-\epsilon }$，

因此：

${\displaystyle 1-\epsilon \leq \int _{A_{\epsilon }^{(n)}}f(x_{1},x_{2},...,x_{n})dx_{1}dx_{2}...dx_{n}}$

${\displaystyle \leq \int _{A_{\epsilon }^{(n)}}2^{-n(h(X)-\epsilon )}dx_{1}dx_{2}...dx_{n}}$

${\displaystyle =2^{-n(h(X)-\epsilon )}\int _{A_{\epsilon }^{(n)}}dx_{1}dx_{2}...dx_{n}}$

${\displaystyle =2^{-n(h(X)-\epsilon )}Vol(A_{\epsilon }^{(n)})}$

1.

对X做n比特量化${\displaystyle X\sim U(0,{1 \over 8})}$。

${\displaystyle H(X^{\Delta })=-3+n}$

上式表示，若我们想得到n比特精确度，则需要n-3个比特来表示。

2.

对X做n比特量化${\displaystyle X\sim N(0,{\sigma }^{2})}$。

${\displaystyle H(X^{\Delta })={1 \over 2}log(2\pi e\sigma ^{2})+n}$

上式表示，若我们想得到n比特精确度，需要${\displaystyle {1 \over 2}log(2\pi e\sigma ^{2})+n}$个比特来表示。

随机变量${\displaystyle X}$，${\displaystyle X_{N}}$值域为${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$，方差为${\displaystyle \sigma ^{2}}$，${\displaystyle X}$为任意分布，${\displaystyle X_{N}}$为常态分布，几率密度函数分别为${\displaystyle f(x),g(x)}$。

则${\displaystyle h_{X}(X)\leq {1 \over 2}log(2\pi e\sigma ^{2})}$

证明:

${\displaystyle {\begin{aligned}0&\leq D(f||g)\\&=\int f(x)log({f(x) \over {g(x)}})dx\\&=-h(X)-\int f(x)log(g(x))dx\\&=-h(X)+h(x)\end{aligned}}}$

其中，

${\displaystyle {\begin{aligned}-\int _{-\infty }^{\infty }f(x)log(g(x))dx&=-\int _{-\infty }^{\infty }f(x)({1 \over 2}log(2\pi \sigma ^{2})+{1 \over 2}({{x-\mu } \over \sigma })^{2})dx\\&={1 \over 2}log(2\pi e\sigma ^{2})\end{aligned}}}$

随机变量${\displaystyle X}$，${\displaystyle Y}$值域为${\displaystyle (0,\infty )}$，期望值为${\displaystyle \lambda }$，${\displaystyle X}$为任意分布，${\displaystyle Y}$为指数分布，几率密度函数分别为${\displaystyle f(x),g(x)}$。

则${\displaystyle h_{X}(X)\leq 1+log\lambda }$。

证明:

${\displaystyle {\begin{aligned}0&\leq D(f||g)\\&=\int f(x)log({f(x) \over {g(x)}})dx\\&=-h(X)-\int f(x)log(g(x))dx\\&=-h(X)+h(Y)\end{aligned}}}$

其中，

${\displaystyle {\begin{aligned}-\int \limits _{0}^{\infty }f(x)log(g(x))dy&=-\int \limits _{0}^{\infty }f(x)(log\lambda +{x \over \lambda })dx\\&=1+log\lambda \end{aligned}}}$