引力势能

一天体${\displaystyle m}$在中心天体${\displaystyle M}$的引力作用下由无穷远处匀速运动至某位置${\displaystyle A}$点，这一过程中，外力（要使${\displaystyle m}$匀速运动，${\displaystyle m}$上必然还有一个与引力等大反向的外力）所做的功${\displaystyle W}$为引力势能。

把${\displaystyle m}$从无穷远处拉至${\displaystyle A}$的过程中，${\displaystyle M}$与${\displaystyle m}$的间距不断减小，万有引力和外力不断增大，是变力。处理变力做功问题，需要借助积分。

设${\displaystyle A}$点与${\displaystyle M}$质心相距${\displaystyle r_{A}}$。先关注微元，再整体思考，可得

${\displaystyle W={\vec {F}}\cdot {\vec {x}}=\left|{\vec {F}}\right|\left|{\vec {x}}\right|\cos <{\vec {F}},{\vec {x}}>}$

${\displaystyle \Longrightarrow {\rm {d}}W={\frac {GMm}{r^{2}}}(-{\rm {d}}r)\cos \pi }$ [2]

${\displaystyle W=\int _{\infty }^{r_{A}}{\frac {GMm}{r^{2}}}(-{\rm {d}}r)(-1)}$

${\displaystyle W=-{\frac {GMm}{r_{A}}}}$

即 ${\displaystyle E_{p}=-{\frac {GMm}{r_{A}}}}$

在廣義相對論，引力位能被塑造成蘭道-栗弗席兹赝張量 [3]，以允許古典力學的守恆定律能夠獲得保留。加上物質的应力-能量張量至蘭道-栗弗席兹赝張量的結果是結合了物質和重力能赝張量導致散度為零的發散。有些人反對在基礎上做如此的延伸，認為這樣做在廣義相對論中是不適當的，這是只是守恆律的需要所衍生的用途，在這樣的情況下只是赝張量和真張量的結合。

1. Alan Guth The Inflationary Universe: The Quest for a New Theory of Cosmic Origins (1997), Random House , ISBN 0-224-04448-6 Appendix A: Gravitational Energy demonstrates the negativity of gravitational energy.
2. . www.zhihu.com. [2024-02-07].
3. Lev Davidovich Landau & Evgeny Mikhailovich Lifshitz, The Classical Theory of Fields, (1951), Pergamon Press, ISBN 7-5062-4256-7